MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgecld 11855
Description: A number greater or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
rpgecld (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgecld.3 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
4 rpgecl 11803 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987   class class class wbr 4613  cr 9879  cle 10019  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  rlimno1  14318  isumrpcl  14500  divlogrlim  24281  logno1  24282  chprpcl  24832  vmadivsumb  25072  vmalogdivsum2  25127  vmalogdivsum  25128  2vmadivsumlem  25129  selbergb  25138  selberg2b  25141  selberg3lem2  25147  selberg3  25148  selberg4lem1  25149  selberg4  25150  selberg3r  25158  selberg4r  25159  selberg34r  25160  pntrlog2bndlem1  25166  pntrlog2bndlem2  25167  pntrlog2bndlem3  25168  pntrlog2bndlem4  25169  pntrlog2bndlem5  25170  pntrlog2bndlem6a  25171  pntrlog2bndlem6  25172  pntrlog2bnd  25173  pntibndlem2  25180  pntlemb  25186
  Copyright terms: Public domain W3C validator