MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpgecld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgecld 12458
Description: A number greater than or equal to a positive real is positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpgecld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rpgecld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
rpgecld.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
rpgecld (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpgecld
StepHypRef Expression
1 rpgecld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
2 rpgecld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 rpgecld.3 . 2 (𝜑𝐵𝐴)
4 rpgecl 12405 . 2 ((𝐵 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
51, 2, 3, 4syl3anc 1363 1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105   class class class wbr 5057  cr 10524  cle 10664  +crp 12377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-addrcl 10586  ax-rnegex 10596  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-rp 12378
This theorem is referenced by:  rlimno1  14998  isumrpcl  15186  divlogrlim  25145  logno1  25146  chprpcl  25710  vmadivsumb  25986  vmalogdivsum2  26041  vmalogdivsum  26042  2vmadivsumlem  26043  selbergb  26052  selberg2b  26055  selberg3lem2  26061  selberg3  26062  selberg4lem1  26063  selberg4  26064  selberg3r  26072  selberg4r  26073  selberg34r  26074  pntrlog2bndlem1  26080  pntrlog2bndlem2  26081  pntrlog2bndlem3  26082  pntrlog2bndlem4  26083  pntrlog2bndlem5  26084  pntrlog2bndlem6a  26085  pntrlog2bndlem6  26086  pntrlog2bnd  26087  pntibndlem2  26094  pntlemb  26100
  Copyright terms: Public domain W3C validator