MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcld 11718
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rphalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rphalfcl 11692 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6526   / cdiv 10535  2c2 10919  +crp 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-2 10928  df-rp 11667
This theorem is referenced by:  nnesq  12807  rlimuni  14077  climuni  14079  reccn2  14123  iseralt  14211  mertenslem1  14403  mertenslem2  14404  ege2le3  14607  rpcoshcl  14674  sqr2irrlem  14764  4sqlem7  15434  ssblex  21990  methaus  22082  met2ndci  22084  metustexhalf  22118  cfilucfil  22121  nlmvscnlem2  22246  nlmvscnlem1  22247  nrginvrcnlem  22252  reperflem  22376  icccmplem2  22381  metdcnlem  22394  metnrmlem2  22418  metnrmlem3  22419  ipcnlem2  22795  ipcnlem1  22796  minveclem3  22952  ovollb2lem  23007  ovolunlem2  23017  uniioombl  23107  itg2cnlem2  23279  itg2cn  23280  lhop1lem  23524  lhop1  23525  aaliou2b  23844  ulmcn  23901  pserdvlem1  23929  pserdv  23931  cxpcn3lem  24232  lgamgulmlem3  24501  lgamucov  24508  ftalem2  24544  bposlem7  24759  bposlem9  24761  lgsquadlem2  24850  chebbnd1lem2  24903  pntibndlem3  25025  pntibnd  25026  pntlemr  25035  lt2addrd  28696  tpr2rico  29079  knoppndvlem17  31482  tan2h  32354  mblfinlem4  32402  sstotbnd2  32526  dstregt0  38217  suplesup  38279  infleinf  38312  lptre2pt  38490  0ellimcdiv  38499  ioodvbdlimc1lem2  38605  ioodvbdlimc2lem  38607  stoweidlem62  38738  stirlinglem1  38750
  Copyright terms: Public domain W3C validator