Theorem rphalfcld 12446

Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rphalfcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rphalfcl 12419	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   / cdiv 11299  2c2 11695  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-2 11703  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  nnesq  13591  rlimuni  14909  climuni  14911  reccn2  14955  iseralt  15043  mertenslem1  15242  mertenslem2  15243  ege2le3  15445  rpcoshcl  15512  sqrt2irrlem  15603  4sqlem7  16282  ssblex  23040  methaus  23132  met2ndci  23134  metustexhalf  23168  cfilucfil  23171  nlmvscnlem2  23296  nlmvscnlem1  23297  nrginvrcnlem  23302  reperflem  23428  icccmplem2  23433  metdcnlem  23446  metnrmlem2  23470  metnrmlem3  23471  ipcnlem2  23849  ipcnlem1  23850  minveclem3  24034  ovollb2lem  24091  ovolunlem2  24101  uniioombl  24192  itg2cnlem2  24365  itg2cn  24366  lhop1lem  24612  lhop1  24613  aaliou2b  24932  ulmcn  24989  pserdvlem1  25017  pserdv  25019  cxpcn3lem  25330  lgamgulmlem3  25610  lgamucov  25617  ftalem2  25653  bposlem7  25868  bposlem9  25870  lgsquadlem2  25959  chebbnd1lem2  26048  pntibndlem3  26170  pntibnd  26171  pntlemr  26180  lt2addrd  30477  tpr2rico  31157  knoppndvlem17  33869  tan2h  34886  mblfinlem4  34934  sstotbnd2  35054  dstregt0  41554  suplesup  41614  infleinf  41647  lptre2pt  41928  0ellimcdiv  41937  limsupgtlem  42065  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  stoweidlem62  42354  stirlinglem1  42366