MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalflt 11804
Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalflt (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Proof of Theorem rphalflt
StepHypRef Expression
1 elrp 11778 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 halfpos 11207 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
32biimpa 501 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / 2) < 𝐴)
41, 3sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1992   class class class wbr 4618  (class class class)co 6605  cr 9880  0cc0 9881   < clt 10019   / cdiv 10629  2c2 11015  +crp 11776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-2 11024  df-rp 11777
This theorem is referenced by:  rpltrp  12110  rpnnen2lem11  14873  sqrt2irr  14898  metcnpi3  22256  cfilucfil  22269  reperflem  22524  iccntr  22527  icccmplem2  22529  reconnlem2  22533  cnllycmp  22658  bcthlem5  23028  minveclem3  23103  ivthlem2  23123  lhop1lem  23675  dvcnvre  23681  aaliou  23992  aaliou2b  23995  cosordlem  24176  tanord1  24182  argregt0  24255  argrege0  24256  isosctrlem1  24443  asinsin  24514  asin1  24516  atan1  24550  lgamucov  24659  lgsqrlem2  24967  lgsquadlem2  25001  lgsquadlem3  25002  2sqlem8  25046  chebbnd1lem2  25054  pntibnd  25177  pntlem3  25193  ubthlem1  27566  nmcexi  28725  ftc1anc  33092  isosctrlem1ALT  38620  dstregt0  38925  supxrge  38986  stoweidlem62  39554  fourierdlem79  39677
  Copyright terms: Public domain W3C validator