MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcl 11806
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
rpmulcl ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcl
StepHypRef Expression
1 rpre 11790 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
2 rpre 11790 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
3 remulcl 9972 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
41, 2, 3syl2an 494 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
5 elrp 11785 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 elrp 11785 . . 3 (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
7 mulgt0 10066 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
85, 6, 7syl2anb 496 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
9 elrp 11785 . 2 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 · 𝐵)))
104, 8, 9sylanbrc 697 1 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987   class class class wbr 4618  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887   · cmul 9892   < clt 10025  +crp 11783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-ltxr 10030  df-rp 11784
This theorem is referenced by:  rpmulcld  11839  moddi  12685  rpexpcl  12826  discr  12948  reccn2  14268  expcnv  14528  fprodrpcl  14618  rprisefaccl  14686  rpmsubg  19738  ovolscalem2  23201  aaliou3lem7  24021  aaliou3lem9  24022  cosordlem  24194  logfac  24264  loglesqrt  24412  divsqrtsumlem  24619  basellem1  24720  pclogsum  24853  bclbnd  24918  bposlem7  24928  bposlem8  24929  bposlem9  24930  chebbnd1lem2  25072  dchrisum0lem3  25121  chpdifbndlem2  25156  pntrsumbnd2  25169  pntpbnd1a  25187  pntpbnd2  25189  pntibnd  25195  pntlemd  25196  pntlema  25198  pntlemb  25199  pntlemf  25207  pntlemo  25209  minvecolem3  27599  knoppndvlem18  32189  taupilem1  32827  taupilem2  32828  taupi  32829  ftc1anclem7  33150  ftc1anc  33152  isbnd2  33241  wallispilem4  39613  wallispi  39615  dirker2re  39637  dirkerdenne0  39638  dirkerper  39641  dirkertrigeq  39646  dirkercncflem2  39649  fourierdlem24  39676  sqwvfoura  39773  sqwvfourb  39774  amgmlemALT  41873
  Copyright terms: Public domain W3C validator