MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcld 11926
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 11893 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 694 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690   · cmul 9979  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  reccn2  14371  eirrlem  14976  nrginvrcnlem  22542  ovolscalem1  23327  itg2gt0  23572  aaliou3lem1  24142  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem8  24145  cosordlem  24322  logcnlem2  24434  cxp2limlem  24747  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem4  24803  lgamgulmlem5  24804  lgamgulmlem6  24805  lgsquadlem2  25151  chtppilimlem1  25207  chtppilim  25209  chebbnd2  25211  chto1lb  25212  rplogsumlem1  25218  dchrvmasumlem1  25229  chpdifbndlem1  25287  chpdifbndlem2  25288  selberg3lem1  25291  selberg4lem1  25294  selberg4  25295  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntpbnd2  25321  pntlemd  25328  pntlema  25330  pntlemb  25331  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemf  25339  pntlemo  25341  pntlem3  25343  pntleml  25345  pnt  25348  ttgcontlem1  25810  2sqmod  29776  hgt750leme  30864  faclimlem1  31755  faclimlem3  31757  faclim  31758  unbdqndv2  32627  knoppndvlem17  32644  rrndstprj2  33760  pellfund14  37779  0ellimcdiv  40199  wallispilem3  40602  wallispilem4  40603  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  stirlinglem2  40610  stirlinglem3  40611  stirlinglem4  40612  stirlinglem6  40614  stirlinglem7  40615  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  stirlinglem13  40621  stirlinglem14  40622  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  dirkertrigeqlem1  40633  dirkercncflem1  40638  dirkercncflem4  40641  hoiqssbllem1  41157  hoiqssbllem2  41158  hoiqssbllem3  41159  amgmwlem  42876  amgmw2d  42878
  Copyright terms: Public domain W3C validator