MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcld 11723
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 11690 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527   · cmul 9798  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  reccn2  14124  eirrlem  14720  nrginvrcnlem  22253  ovolscalem1  23033  itg2gt0  23278  aaliou3lem1  23846  aaliou3lem2  23847  aaliou3lem8  23849  cosordlem  24026  logcnlem2  24134  cxp2limlem  24447  lgamgulmlem3  24502  lgamgulmlem4  24503  lgamgulmlem5  24504  lgamgulmlem6  24505  lgsquadlem2  24851  chtppilimlem1  24907  chtppilim  24909  chebbnd2  24911  chto1lb  24912  rplogsumlem1  24918  dchrvmasumlem1  24929  chpdifbndlem1  24987  chpdifbndlem2  24988  selberg3lem1  24991  selberg4lem1  24994  selberg4  24995  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem3  25013  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem5  25015  pntpbnd2  25021  pntlemd  25028  pntlema  25030  pntlemb  25031  pntlemq  25035  pntlemr  25036  pntlemj  25037  pntlemf  25039  pntlemo  25041  pntlem3  25043  pntleml  25045  pnt  25048  ttgcontlem1  25511  2sqmod  28813  faclimlem1  30716  faclimlem3  30718  faclim  30719  unbdqndv2  31506  knoppndvlem17  31523  rrndstprj2  32624  pellfund14  36304  0ellimcdiv  38540  wallispilem3  38784  wallispilem4  38785  wallispi  38787  wallispi2lem1  38788  stirlinglem2  38792  stirlinglem3  38793  stirlinglem4  38794  stirlinglem6  38796  stirlinglem7  38797  stirlinglem10  38800  stirlinglem11  38801  stirlinglem12  38802  stirlinglem13  38803  stirlinglem14  38804  stirlinglem15  38805  stirlingr  38807  dirkertrigeqlem1  38815  dirkercncflem1  38820  dirkercncflem4  38823  hoiqssbllem1  39336  hoiqssbllem2  39337  hoiqssbllem3  39338  amgmwlem  42340  amgmw2d  42342
  Copyright terms: Public domain W3C validator