Theorem rpmulcld 12450

Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpmulcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpaddcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
3		rpmulcl 12415	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158   · cmul 10544  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-addrcl 10600  ax-mulrcl 10602  ax-rnegex 10610  ax-cnre 10612  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  reccn2  14955  eirrlem  15559  nrginvrcnlem  23302  ovolscalem1  24116  itg2gt0  24363  aaliou3lem1  24933  aaliou3lem2  24934  aaliou3lem8  24936  cosordlem  25117  logcnlem2  25228  cxp2limlem  25555  lgamgulmlem3  25610  lgamgulmlem4  25611  lgamgulmlem5  25612  lgamgulmlem6  25613  lgsquadlem2  25959  2sqmod  26014  chtppilimlem1  26051  chtppilim  26053  chebbnd2  26055  chto1lb  26056  rplogsumlem1  26062  dchrvmasumlem1  26073  chpdifbndlem1  26131  chpdifbndlem2  26132  selberg3lem1  26135  selberg4lem1  26138  selberg4  26139  pntrlog2bndlem2  26156  pntrlog2bndlem3  26157  pntrlog2bndlem4  26158  pntrlog2bndlem5  26159  pntpbnd2  26165  pntlemd  26172  pntlema  26174  pntlemb  26175  pntlemq  26179  pntlemr  26180  pntlemj  26181  pntlemf  26183  pntlemo  26185  pntlem3  26187  pntleml  26189  pnt  26192  ttgcontlem1  26673  hgt750leme  31931  faclimlem1  32977  faclimlem3  32979  faclim  32980  unbdqndv2  33852  knoppndvlem17  33869  rrndstprj2  35111  pellfund14  39502  0ellimcdiv  41937  wallispilem3  42359  wallispilem4  42360  wallispi  42362  wallispi2lem1  42363  stirlinglem2  42367  stirlinglem3  42368  stirlinglem4  42369  stirlinglem6  42371  stirlinglem7  42372  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  stirlinglem12  42377  stirlinglem13  42378  stirlinglem14  42379  stirlinglem15  42380  stirlingr  42382  dirkertrigeqlem1  42390  dirkercncflem1  42395  dirkercncflem4  42398  hoiqssbllem1  42911  hoiqssbllem2  42912  hoiqssbllem3  42913  amgmwlem  44910  amgmw2d  44912