Theorem rpne0 12399

Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpne0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpregt0 12397	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2		gt0ne0 11099	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  rprene0  12400  rpcnne0  12401  rpne0d  12430  divge1  12451  xlemul1  12677  ltdifltdiv  13198  mulmod0  13239  negmod0  13240  moddiffl  13244  modid0  13259  modmuladd  13275  modmuladdnn0  13277  2txmodxeq0  13293  rpexpcl  13442  expnlbnd  13588  rennim  14592  sqrtdiv  14619  o1fsum  15162  divrcnv  15201  rpmsubg  20603  itg2const2  24336  reeff1o  25029  logne0  25157  advlog  25231  advlogexp  25232  logcxp  25246  cxprec  25263  cxpmul  25265  abscxp  25269  cxple2  25274  dvcxp1  25315  dvcxp2  25316  dvsqrt  25317  relogbreexp  25347  relogbzexp  25348  relogbmul  25349  relogbdiv  25351  relogbexp  25352  relogbcxp  25357  relogbcxpb  25359  relogbf  25363  logbgt0b  25365  rlimcnp  25537  efrlim  25541  cxplim  25543  cxp2limlem  25547  cxploglim  25549  logdifbnd  25565  logdiflbnd  25566  logfacrlim2  25796  bposlem8  25861  vmadivsum  26052  mudivsum  26100  mulogsumlem  26101  logdivsum  26103  log2sumbnd  26114  selberg2lem  26120  selberg2  26121  pntrmax  26134  selbergr  26138  pntrlog2bndlem4  26150  pntrlog2bndlem5  26151  pntlem3  26179  padicabvcxp  26202  blocnilem  28575  nmcexi  29797  probfinmeasb  31681  probfinmeasbALTV  31682  signsplypnf  31815  logdivsqrle  31916  poimirlem29  34915  areacirclem1  34976  areacirclem4  34979  areacirc  34981  heiborlem6  35088  heiborlem7  35089  xralrple2  41615  recnnltrp  41638  rpgtrecnn  41642  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  fldivmod  44572  relogbmulbexp  44615  relogbdivb  44616  blenre  44628