MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpne0 11683
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpne0 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0
StepHypRef Expression
1 rpregt0 11681 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 gt0ne0 10345 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578  cr 9792  0cc0 9793   < clt 9931  +crp 11667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-rp 11668
This theorem is referenced by:  rprene0  11684  rpcnne0  11685  rpne0d  11712  divge1  11733  xlemul1  11952  ltdifltdiv  12455  mulmod0  12496  negmod0  12497  moddiffl  12501  modid0  12516  modmuladd  12532  modmuladdnn0  12534  2txmodxeq0  12550  rpexpcl  12699  expnlbnd  12814  rennim  13776  sqrtdiv  13803  o1fsum  14335  divrcnv  14372  rpmsubg  19578  itg2const2  23259  reeff1o  23950  reefgim  23953  logne0  24075  advlog  24145  advlogexp  24146  logcxp  24160  cxprec  24177  cxpmul  24179  abscxp  24183  cxple2  24188  dvcxp1  24226  dvcxp2  24227  dvsqrt  24228  relogbreexp  24258  relogbzexp  24259  relogbmul  24260  relogbdiv  24262  relogbexp  24263  relogbcxp  24268  relogbcxpb  24270  relogbf  24274  logblog  24275  rlimcnp  24437  efrlim  24441  cxplim  24443  cxp2limlem  24447  cxploglim  24449  logdifbnd  24465  logdiflbnd  24466  logfacrlim2  24696  bposlem8  24761  vmadivsum  24916  mudivsum  24964  mulogsumlem  24965  logdivsum  24967  log2sumbnd  24978  selberg2lem  24984  selberg2  24985  pntrmax  24998  selbergr  25002  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem5  25015  pntlem3  25043  padicabvcxp  25066  blocnilem  26837  nmcexi  28063  probfinmeasbOLD  29611  probfinmeasb  29612  signsplypnf  29747  poimirlem29  32402  areacirclem1  32464  areacirclem4  32467  areacirc  32469  heiborlem6  32579  heiborlem7  32580  xralrple2  38305  recnnltrp  38328  rpgtrecnn  38332  ioodvbdlimc1lem2  38616  ioodvbdlimc2lem  38618  fldivmod  42099  relogbmulbexp  42145  relogbdivb  42146  blenre  42158
  Copyright terms: Public domain W3C validator