Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem3 11768
 Description: Lemma for rpnnen1 11772. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
rpnnen1lem.n ℕ ∈ V
rpnnen1lem.q ℚ ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem3 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.n . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
21mptex 6446 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V
3 rpnnen1lem.2 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
43fvmpt2 6253 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) ∈ V) → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
52, 4mpan2 706 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
65fveq1d 6155 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘))
7 ovex 6638 . . . . . 6 (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V
8 eqid 2621 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
98fvmpt2 6253 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
107, 9mpan2 706 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
116, 10sylan9eq 2675 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘))
12 rpnnen1lem.1 . . . . . . . . 9 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
1312rabeq2i 3186 . . . . . . . 8 (𝑛𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
14 zre 11333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
16 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
17 nnre 10979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
18 nngt0 11001 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
1917, 18jca 554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
2019ad2antlr 762 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
21 ltdivmul 10850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2317ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
24 remulcl 9973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
2523, 16, 24syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
26 ltle 10078 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2715, 25, 26syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2822, 27sylbid 230 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
2928impr 648 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3013, 29sylan2b 492 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3130ralrimiva 2961 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
32 ssrab2 3671 . . . . . . . . . 10 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
3312, 32eqsstri 3619 . . . . . . . . 9 𝑇 ⊆ ℤ
34 zssre 11336 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
3533, 34sstri 3596 . . . . . . . 8 𝑇 ⊆ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℝ)
3724ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
3817, 37sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
39 btwnz 11431 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
4039simpld 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4138, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
4222rexbidva 3043 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
4341, 42mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
44 rabn0 3937 . . . . . . . . 9 ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
4543, 44sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4612neeq1i 2854 . . . . . . . 8 (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
4745, 46sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
48 breq2 4622 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛𝑦𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
4948ralbidv 2981 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛𝑇 𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5049rspcev 3298 . . . . . . . 8 (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
5138, 31, 50syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
52 suprleub 10941 . . . . . . 7 (((𝑇 ⊆ ℝ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦) ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5336, 47, 51, 38, 52syl31anc 1326 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥) ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
5431, 53mpbird 247 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥))
5512, 3rpnnen1lem2 11766 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
5655zred 11434 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
57 simpl 473 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5819adantl 482 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
59 ledivmul 10851 . . . . . 6 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6056, 57, 58, 59syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥 ↔ sup(𝑇, ℝ, < ) ≤ (𝑘 · 𝑥)))
6154, 60mpbird 247 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘) ≤ 𝑥)
6211, 61eqbrtrd 4640 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
6362ralrimiva 2961 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥)
64 rpnnen1lem.q . . . . 5 ℚ ∈ V
6512, 3, 1, 64rpnnen1lem1 11767 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
6664, 1elmap 7838 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ↔ (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
6765, 66sylib 208 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
68 ffn 6007 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → (𝐹𝑥) Fn ℕ)
69 breq1 4621 . . . 4 (𝑛 = ((𝐹𝑥)‘𝑘) → (𝑛𝑥 ↔ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7069ralrn 6323 . . 3 ((𝐹𝑥) Fn ℕ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7167, 68, 703syl 18 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑥)‘𝑘) ≤ 𝑥))
7263, 71mpbird 247 1 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3189   ⊆ wss 3559  ∅c0 3896   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  ran crn 5080   Fn wfn 5847  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↑𝑚 cmap 7809  supcsup 8298  ℝcr 9887  0cc0 9888   · cmul 9893   < clt 10026   ≤ cle 10027   / cdiv 10636  ℕcn 10972  ℤcz 11329  ℚcq 11740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-er 7694  df-map 7811  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-sup 8300  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-n0 11245  df-z 11330  df-q 11741 This theorem is referenced by:  rpnnen1lem4  11769  rpnnen1lem5  11770
 Copyright terms: Public domain W3C validator