Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem1 14649
 Description: Lemma for rpnnen2 14661. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 10779 . . . . 5 ℕ ∈ V
21elpw2 4654 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2581 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 3961 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 4571 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 6266 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6074 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 223 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109fveq1d 5988 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11 eleq1 2580 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝐴𝑁𝐴))
12 oveq2 6433 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
1311, 12ifbieq1d 3962 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14 eqid 2514 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15 ovex 6453 . . . 4 ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16 c0ex 9787 . . . 4 0 ∈ V
1715, 16ifex 4009 . . 3 if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6074 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
1910, 18sylan9eq 2568 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1938   ⊆ wss 3444  ifcif 3939  𝒫 cpw 4011   ↦ cmpt 4541  ‘cfv 5689  (class class class)co 6425  0cc0 9689  1c1 9690   / cdiv 10431  ℕcn 10773  3c3 10824  ↑cexp 12587 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-om 6832  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-nn 10774 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  14651  rpnnen2lem4  14652  rpnnen2lem9  14657  rpnnen2lem10  14658  rpnnen2lem11  14659
 Copyright terms: Public domain W3C validator