MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem10 14877
Description: Lemma for rpnnen2 14880. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
31, 2sylib 208 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
6 eldifi 3710 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
7 ssel2 3578 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
86, 7sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
94, 5, 8syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 14875 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
124, 9, 11syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
13 1z 11351 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
14 nnz 11343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15 elfzm11 12352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1613, 14, 15sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1716biimpa 501 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
189, 17sylan 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
1918simp3d 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
21 elfznn 12312 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚𝑘 < 𝑚))
23 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐴𝑘𝐴))
24 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐵𝑘𝐵))
2523, 24bibi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝐴𝑛𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2622, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵))))
2726rspccva 3294 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2820, 21, 27syl2an 494 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3029ifbid 4080 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3110rpnnen2lem1 14868 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
324, 21, 31syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
3410rpnnen2lem1 14868 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3533, 21, 34syl2an 494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2665 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3736sumeq2dv 14367 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘))
3837oveq1d 6619 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
3912, 38eqtrd 2655 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4039adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4110rpnnen2lem8 14875 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4233, 9, 41syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4342adantr 481 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
443, 40, 433eqtr3d 2663 . 2 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4510rpnnen2lem6 14873 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 14873 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49 fzfid 12712 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 14869 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6313 . . . . . 6 (((𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 494 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 14398 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55 readdcan 10154 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5756adantr 481 . 2 ((𝜑𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5844, 57mpbid 222 1 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  3c3 11015  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  cexp 12800  Σcsu 14350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-ico 12123  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  14878
  Copyright terms: Public domain W3C validator