Theorem rpnnen2lem3 15571

Description: Lemma for rpnnen2 15581. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem3	⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Distinct variable group:   𝑥,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10643	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		3nn 11719	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
3		nndivre 11681	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
5	4	recni 10657	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 / 3) ∈ ℂ)
7		0re 10645	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		3re 11720	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3pos 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 3
10	8, 9	recgt0ii 11548	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < (1 / 3)
11	7, 4, 10	ltleii 10765	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
12		absid 14658	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
13	4, 11, 12	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
14		1lt3 11813	. . . . . . 7 ⊢ 1 < 3
15		recgt1 11538	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
16	8, 9, 15	mp2an 690	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
17	14, 16	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ (1 / 3) < 1
18	13, 17	eqbrtri 5089	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 3)) < 1
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
20		1nn0 11916	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
22		ssid 3991	. . . . . 6 ⊢ ℕ ⊆ ℕ
23		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1))
24		nnuz 12284	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
25	23, 24	eleqtrrdi 2926	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
26		rpnnen2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
27	26	rpnnen2lem1 15569	. . . . . 6 ⊢ ((ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
28	22, 25, 27	sylancr 589	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
29	25	iftrued 4477	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑘 ∈ ℕ, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
30	28, 29	eqtrd 2858	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
31	6, 19, 21, 30	geolim2 15229	. . 3 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))))
32	31	mptru 1544	. 2 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3)))
33		exp1 13438	. . . . 5 ⊢ ((1 / 3) ∈ ℂ → ((1 / 3)↑1) = (1 / 3))
34	5, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((1 / 3)↑1) = (1 / 3)
35		3cn 11721	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		ax-1cn 10597	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
37		3ne0 11746	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
38	35, 37	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
39		divsubdir 11336	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
40	35, 36, 38, 39	mp3an 1457	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
41		3m1e2 11768	. . . . . 6 ⊢ (3 − 1) = 2
42	41	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
43	35, 37	dividi 11375	. . . . . 6 ⊢ (3 / 3) = 1
44	43	oveq1i 7168	. . . . 5 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
45	40, 42, 44	3eqtr3ri 2855	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
46	34, 45	oveq12i 7170	. . 3 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = ((1 / 3) / (2 / 3))
47		2cnne0 11850	. . . 4 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
48		divcan7 11351	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2))
49	36, 47, 38, 48	mp3an 1457	. . 3 ⊢ ((1 / 3) / (2 / 3)) = (1 / 2)
50	46, 49	eqtri 2846	. 2 ⊢ (((1 / 3)↑1) / (1 − (1 / 3))) = (1 / 2)
51	32, 50	breqtri 5093	1 ⊢ seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018   ⊆ wss 3938  ifcif 4469  𝒫 cpw 4541   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678   − cmin 10872   / cdiv 11299  ℕcn 11640  2c2 11695  3c3 11696  ℕ₀cn0 11900  ℤ_≥cuz 12246  seqcseq 13372  ↑cexp 13432  abscabs 14595   ⇝ cli 14843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  15573  rpnnen2lem12  15580