MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem9 15150
Description: Lemma for rpnnen2 15154. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2760 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 nnz 11591 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2761 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4 eluznn 11951 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 difss 3880 . . . . . . 7 (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 15143 . . . . . . 7 ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
98ffvelrni 6521 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 10260 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
126rpnnen2lem5 15146 . . . 4 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 708 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 14772 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
156rpnnen2lem1 15142 . . . . 5 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 708 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4468 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
1817iffalsed 4241 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2794 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20 eqid 2760 . . . 4 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
21 peano2nn 11224 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2221nnzd 11673 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23 eqidd 2761 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24 eluznn 11951 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2521, 24sylan 489 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 1re 10231 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 11378 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
29 nndivre 11248 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 710 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 10244 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33 0re 10232 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 11286 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 11306 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 11121 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 10352 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 3)
38 absid 14235 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 710 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 11388 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 11111 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 710 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 220 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 4825 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 11543 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
476rpnnen2lem1 15142 . . . . . . . 8 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
485, 47mpan 708 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50 nnre 11219 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 11892 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
5352adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54 nnltp1le 11625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5525, 54syldan 488 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5653, 55mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
5751, 56gtned 10364 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘𝑀)
58 eldifsn 4462 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 701 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
6059iftrued 4238 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
6149, 60eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
6232, 45, 46, 61geolim2 14801 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 14687 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 6831 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2794 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  cdif 3712  wss 3715  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  3c3 11263  cuz 11879  seqcseq 12995  cexp 13054  abscabs 14173  cli 14414  Σcsu 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15152
  Copyright terms: Public domain W3C validator