MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpreccl 11895
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpreccl (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccl
StepHypRef Expression
1 1rp 11874 . 2 1 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 11894 . 2 ((1 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ+) → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2mpan 706 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  (class class class)co 6690  1c1 9975   / cdiv 10722  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  rpreccld  11920  xlemul1  12158  rpexpcl  12919  rpnnen2lem11  14997  prmreclem6  15672  rpmsubg  19858  lebnumii  22812  nmhmcn  22966  lmnn  23107  advlog  24445  cxprec  24477  dvcxp1  24526  loglesqrt  24544  logrec  24546  rlimcnp  24737  rlimcnp2  24738  rlimcnp3  24739  cxplim  24743  logdifbnd  24765  harmonicbnd4  24782  logfacrlim  24994  dchrmusumlema  25227  mulogsumlem  25265  selberg2lem  25284  pntrsumo1  25299  pntibndlem1  25323  blocnilem  27787  subfacval3  31297  recnnltrp  39906  rpgtrecnn  39910  xrralrecnnle  39915  nnrecrp  39918  sumnnodd  40180  dirkertrigeq  40636  preimageiingt  41251  preimaleiinlt  41252
  Copyright terms: Public domain W3C validator