Theorem rpreccld 12444

Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpreccld	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2		rpreccl 12418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  1c1 10540   / cdiv 11299  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  rprecred  12445  resqrex  14612  rlimno1  15012  supcvg  15213  harmonic  15216  expcnv  15221  eirrlem  15559  prmreclem5  16258  prmreclem6  16259  met1stc  23133  met2ndci  23134  nmoi2  23341  bcthlem5  23933  ovolsca  24118  vitali  24216  ismbf3d  24257  itg2seq  24345  itg2mulclem  24349  itg2mulc  24350  aalioulem3  24925  aaliou3lem8  24936  dvradcnv  25011  tanregt0  25125  divlogrlim  25220  advlogexp  25240  logtayllem  25244  divcxp  25272  cxpcn3lem  25330  loglesqrt  25341  logbrec  25362  ang180lem2  25390  asinlem3  25451  leibpi  25522  rlimcnp  25545  rlimcnp2  25546  efrlim  25549  cxplim  25551  cxp2lim  25556  divsqrtsumlem  25559  amgmlem  25569  emcllem2  25576  emcllem4  25578  emcllem5  25579  emcllem6  25580  fsumharmonic  25591  lgamgulmlem5  25612  lgambdd  25616  basellem3  25662  basellem6  25665  logfaclbnd  25800  bclbnd  25858  rplogsumlem2  26063  rpvmasumlem  26065  dchrisum0lem2a  26095  log2sumbnd  26122  logdivbnd  26134  pntlemo  26185  smcnlem  28476  minvecolem3  28655  minvecolem4  28659  esumdivc  31344  dya2ub  31530  omssubadd  31560  logdivsqrle  31923  iprodgam  32976  faclimlem1  32977  faclimlem3  32979  faclim  32980  iprodfac  32981  poimirlem29  34923  poimirlem30  34924  heiborlem3  35093  heiborlem6  35096  heiborlem8  35098  heibor  35101  irrapxlem4  39429  irrapxlem5  39430  oddfl  41550  xralrple4  41648  xrralrecnnge  41669  ioodvbdlimc1lem2  42224  ioodvbdlimc2lem  42226  stoweid  42355  wallispi  42362  stirlinglem1  42366  stirlinglem6  42371  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  dirkertrigeqlem3  42392  dirkercncflem2  42396  iinhoiicc  42963  iunhoiioo  42965  vonioolem2  42970  vonicclem1  42972  eenglngeehlnmlem2  44732  amgmlemALT  44911  young2d  44913