MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpreccld 11842
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpreccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpreccl 11817 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  (class class class)co 6615  1c1 9897   / cdiv 10644  +crp 11792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-rp 11793
This theorem is referenced by:  rprecred  11843  resqrex  13941  rlimno1  14334  supcvg  14532  harmonic  14535  expcnv  14540  eirrlem  14876  prmreclem5  15567  prmreclem6  15568  met1stc  22266  met2ndci  22267  nmoi2  22474  bcthlem5  23065  ovolsca  23223  vitali  23322  ismbf3d  23361  itg2seq  23449  itg2mulclem  23453  itg2mulc  23454  aalioulem3  24027  aaliou3lem8  24038  dvradcnv  24113  tanregt0  24223  divlogrlim  24315  advlogexp  24335  logtayllem  24339  divcxp  24367  cxpcn3lem  24422  loglesqrt  24433  logbrec  24454  ang180lem2  24474  asinlem3  24532  leibpi  24603  rlimcnp2  24627  efrlim  24630  cxplim  24632  cxp2lim  24637  divsqrtsumlem  24640  amgmlem  24650  emcllem2  24657  emcllem4  24659  emcllem5  24660  emcllem6  24661  fsumharmonic  24672  lgamgulmlem5  24693  lgambdd  24697  basellem3  24743  basellem6  24746  logfaclbnd  24881  bclbnd  24939  rplogsumlem2  25108  rpvmasumlem  25110  dchrisum0lem2a  25140  log2sumbnd  25167  logdivbnd  25179  pntlemo  25230  smcnlem  27440  minvecolem3  27620  minvecolem4  27624  esumdivc  29968  dya2ub  30155  omssubadd  30185  iprodgam  31389  faclimlem1  31390  faclimlem3  31392  faclim  31393  iprodfac  31394  poimirlem29  33109  poimirlem30  33110  heiborlem3  33283  heiborlem6  33286  heiborlem8  33288  heibor  33291  irrapxlem4  36908  irrapxlem5  36909  oddfl  38988  xralrple4  39088  xrralrecnnge  39112  ioodvbdlimc1lem2  39484  ioodvbdlimc2lem  39486  stoweid  39617  wallispi  39624  stirlinglem1  39628  stirlinglem6  39633  stirlinglem10  39637  stirlinglem11  39638  dirkertrigeqlem3  39654  dirkercncflem2  39658  iinhoiicc  40225  iunhoiioo  40227  vonioolem2  40232  vonicclem1  40234  amgmlemALT  41882  young2d  41884
  Copyright terms: Public domain W3C validator