MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpreccld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpreccld 11711
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpreccld (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpreccld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpreccl 11686 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6524  1c1 9790   / cdiv 10530  +crp 11661
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-rp 11662
This theorem is referenced by:  rprecred  11712  resqrex  13782  rlimno1  14175  supcvg  14370  harmonic  14373  expcnv  14378  eirrlem  14714  prmreclem5  15405  prmreclem6  15406  met1stc  22074  met2ndci  22075  nmoi2  22273  bcthlem5  22847  ovolsca  23004  vitali  23102  ismbf3d  23141  itg2seq  23229  itg2mulclem  23233  itg2mulc  23234  aalioulem3  23807  aaliou3lem8  23818  dvradcnv  23893  tanregt0  24003  divlogrlim  24095  advlogexp  24115  logtayllem  24119  divcxp  24147  cxpcn3lem  24202  loglesqrt  24213  logbrec  24234  ang180lem2  24254  asinlem3  24312  leibpi  24383  rlimcnp2  24407  efrlim  24410  cxplim  24412  cxp2lim  24417  divsqrtsumlem  24420  amgmlem  24430  emcllem2  24437  emcllem4  24439  emcllem5  24440  emcllem6  24441  fsumharmonic  24452  lgamgulmlem5  24473  lgambdd  24477  basellem3  24523  basellem6  24526  logfaclbnd  24661  bclbnd  24719  rplogsumlem2  24888  rpvmasumlem  24890  dchrisum0lem2a  24920  log2sumbnd  24947  logdivbnd  24959  pntlemo  25010  smcnlem  26734  minvecolem3  26919  minvecolem4  26923  esumdivc  29275  dya2ub  29462  omssubadd  29492  iprodgam  30684  faclimlem1  30685  faclimlem3  30687  faclim  30688  iprodfac  30689  poimirlem29  32408  poimirlem30  32409  heiborlem3  32582  heiborlem6  32585  heiborlem8  32587  heibor  32590  irrapxlem4  36207  irrapxlem5  36208  oddfl  38230  xralrple4  38331  xrralrecnnge  38355  ioodvbdlimc1lem2  38623  ioodvbdlimc2lem  38625  stoweid  38757  wallispi  38764  stirlinglem1  38768  stirlinglem6  38773  stirlinglem10  38777  stirlinglem11  38778  dirkertrigeqlem3  38794  dirkercncflem2  38798  iinhoiicc  39366  iunhoiioo  39368  vonioolem2  39373  vonicclem1  39375  amgmlemALT  42318  young2d  42320
  Copyright terms: Public domain W3C validator