MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rprecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rprecred 12068
Description: Closure law for reciprocation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rprecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rprecred
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpreccld 12067 . 2 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
32rpred 12057 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2131  (class class class)co 6805  cr 10119  1c1 10121   / cdiv 10868  +crp 12017
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-rp 12018
This theorem is referenced by:  xov1plusxeqvd  12503  ltexp2r  13103  expnlbnd2  13181  rlimno1  14575  lebnumii  22958  sca2rab  23472  aalioulem4  24281  aalioulem5  24282  dvradcnv  24366  tanregt0  24476  divlogrlim  24572  logccv  24600  cxplt3  24637  asinlem3  24789  rlimcxp  24891  cxp2lim  24894  divsqrtsumlem  24897  logdiflbnd  24912  lgamgulmlem2  24947  lgamgulmlem3  24948  basellem3  25000  dchrisum0lema  25394  dchrisum0lem1  25396  dchrisum0lem2a  25397  mulog2sumlem1  25414  vmalogdivsum2  25418  pntrlog2bndlem2  25458  pntlemd  25474  pntlemr  25482  ostth3  25518  nmcexi  29186  knoppndvlem18  32818  knoppndvlem20  32820  irrapxlem4  37883  irrapxlem5  37884  ioodvbdlimc1lem2  40642  ioodvbdlimc2lem  40644  stoweidlem14  40726  fourierdlem39  40858  pimrecltpos  41417  smfrec  41494
  Copyright terms: Public domain W3C validator