Theorem rprege0 12403

Description: A positive real is a nonnegative real number. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rprege0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12396	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpge0 12401	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	jca 514	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ℝcr 10535  0cc0 10536   ≤ cle 10675  ℝ⁺crp 12388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-addrcl 10597  ax-rnegex 10607  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-rp 12389

This theorem is referenced by:  resqrex  14609  sqrtdiv  14624  o1fsum  15167  prmreclem3  16253  aaliou3lem3  24932  pige3ALT  25104  rpcxpcl  25258  cxprec  25268  harmoniclbnd  25585  harmonicbnd4  25587  basellem4  25660  logfaclbnd  25797  logfacrlim  25799  logexprlim  25800  bposlem7  25865  vmadivsum  26057  dchrisum0lem2a  26092  dchrisum0lem2  26093  dchrisum0  26095  mudivsum  26105  mulogsumlem  26106  selberglem2  26121  selberg2lem  26125  pntrsumo1  26140  minvecolem3  28652  ehl2eudis0lt  44712  itsclc0  44757  itsclc0b  44758