Theorem rprege0d 12432

Description: A positive real is real and greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12425	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12429	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  0cc0 10531   ≤ cle 10670  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-addrcl 10592  ax-rnegex 10602  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  eirrlem  15551  prmreclem3  16248  prmreclem6  16251  cxprec  25263  cxpsqrt  25280  cxpcn3lem  25322  cxplim  25543  cxploglim2  25550  divsqrtsumlem  25551  divsqrtsumo1  25555  fsumharmonic  25583  zetacvg  25586  logfacubnd  25791  logfacbnd3  25793  bposlem1  25854  bposlem4  25857  bposlem7  25860  bposlem9  25862  2sqmod  26006  dchrmusum2  26064  dchrvmasumlem3  26069  dchrisum0flblem2  26079  dchrisum0fno1  26081  dchrisum0lema  26084  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem2a  26087  dchrisum0lem2  26088  dchrisum0lem3  26089  chpdifbndlem2  26124  selberg3lem1  26127  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem4  26150  pntrlog2bndlem6a  26152  pntpbnd2  26157  pntibndlem2  26161  pntlemb  26167  pntlemg  26168  pntlemh  26169  pntlemn  26170  pntlemr  26172  pntlemj  26173  pntlemf  26175  pntlemk  26176  pntlemo  26177  blocnilem  28575  ubthlem2  28642  minvecolem4  28651  eulerpartlemgc  31615  irrapxlem4  39415  irrapxlem5  39416  stirlinglem3  42355  stirlinglem15  42367  inlinecirc02plem  44767  amgmlemALT  44898