Theorem rprege0d 12072

Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12065	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpge0d 12069	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
4	2, 3	jca 555	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ℝcr 10127  0cc0 10128   ≤ cle 10267  ℝ⁺crp 12025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-rp 12026

This theorem is referenced by:  eirrlem  15131  prmreclem3  15824  prmreclem6  15827  cxprec  24631  cxpsqrt  24648  cxpcn3lem  24687  cxplim  24897  cxploglim2  24904  divsqrtsumlem  24905  divsqrtsumo1  24909  fsumharmonic  24937  zetacvg  24940  logfacubnd  25145  logfacbnd3  25147  bposlem1  25208  bposlem4  25211  bposlem7  25214  bposlem9  25216  dchrmusum2  25382  dchrvmasumlem3  25387  dchrisum0flblem2  25397  dchrisum0fno1  25399  dchrisum0lema  25402  dchrisum0lem1b  25403  dchrisum0lem1  25404  dchrisum0lem2a  25405  dchrisum0lem2  25406  dchrisum0lem3  25407  chpdifbndlem2  25442  selberg3lem1  25445  pntrsumo1  25453  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem6a  25470  pntpbnd2  25475  pntibndlem2  25479  pntlemb  25485  pntlemg  25486  pntlemh  25487  pntlemn  25488  pntlemr  25490  pntlemj  25491  pntlemf  25493  pntlemk  25494  pntlemo  25495  blocnilem  27968  ubthlem2  28036  minvecolem4  28045  2sqmod  29957  eulerpartlemgc  30733  irrapxlem4  37891  irrapxlem5  37892  stirlinglem3  40796  stirlinglem15  40808  amgmlemALT  43062