Theorem rpregt0 12402

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 12390	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 218	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ℝcr 10535  0cc0 10536   < clt 10674  ℝ⁺crp 12388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-br 5066  df-rp 12389

This theorem is referenced by:  rpne0  12404  divlt1lt  12457  divle1le  12458  ledivge1le  12459  nnledivrp  12500  modge0  13246  modlt  13247  modid  13263  modmuladdnn0  13282  expnlbnd  13593  o1fsum  15167  isprm6  16057  gexexlem  18971  lmnn  23865  aaliou2b  24929  harmonicbnd4  25587  logfaclbnd  25797  logfacrlim  25799  chto1ub  26051  vmadivsum  26057  dchrmusumlema  26068  dchrvmasumlem2  26073  dchrisum0lem2a  26092  dchrisum0lem2  26093  dchrisum0lem3  26094  mulogsumlem  26106  mulog2sumlem2  26110  selberg2lem  26125  selberg3lem1  26132  pntrmax  26139  pntrsumo1  26140  pntibndlem3  26167  divge1b  44566  divgt1b  44567