Theorem rpregt0d 12431

Description: A positive real is real and greater than zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
2	1	rpred 12425	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1	rpgt0d 12428	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝐴)
4	2, 3	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669  ℝ⁺crp 12383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-br 5059  df-rp 12384

This theorem is referenced by:  reclt1d  12438  recgt1d  12439  ltrecd  12443  lerecd  12444  ltrec1d  12445  lerec2d  12446  lediv2ad  12447  ltdiv2d  12448  lediv2d  12449  ledivdivd  12450  divge0d  12465  ltmul1d  12466  ltmul2d  12467  lemul1d  12468  lemul2d  12469  ltdiv1d  12470  lediv1d  12471  ltmuldivd  12472  ltmuldiv2d  12473  lemuldivd  12474  lemuldiv2d  12475  ltdivmuld  12476  ltdivmul2d  12477  ledivmuld  12478  ledivmul2d  12479  ltdiv23d  12492  lediv23d  12493  lt2mul2divd  12494  mertenslem1  15234  isprm6  16052  nmoi  23331  icopnfhmeo  23541  nmoleub2lem3  23713  lmnn  23860  ovolscalem1  24108  aaliou2b  24924  birthdaylem3  25525  fsumharmonic  25583  bcmono  25847  chtppilim  26045  dchrisum0lem1a  26056  dchrvmasumiflem1  26071  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  mulog2sumlem2  26105  selberg3lem1  26127  pntrsumo1  26135  pntibndlem1  26159  pntibndlem3  26162  pntlemr  26172  pntlemj  26173  ostth3  26208  minvecolem3  28647  lnconi  29804  poimirlem29  34915  poimirlem30  34916  poimirlem31  34917  poimirlem32  34918  stoweidlem14  42293  stoweidlem34  42313  stoweidlem42  42321  stoweidlem51  42330  stoweidlem59  42338  stirlinglem5  42357  elbigolo1  44611