MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpsqrtcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpsqrtcld 14100
Description: The square root of a positive real is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
sqrgt0d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpsqrtcld (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpsqrtcld
StepHypRef Expression
1 sqrgt0d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpsqrtcl 13955 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (√‘𝐴) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  cfv 5857  +crp 11792  csqrt 13923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-sup 8308  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-seq 12758  df-exp 12817  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925
This theorem is referenced by:  sqrtgt0d  14101  prmreclem3  15565  prmreclem5  15567  cxpsqrt  24383  divsqrtsumlem  24640  bposlem7  24949  bposlem9  24951  chtppilim  25098  chpchtlim  25102  rplogsumlem1  25107  dchrisum0fno1  25134  dchrisum0lema  25137  dchrisum0lem1b  25138  dchrisum0lem1  25139  dchrisum0lem2a  25140  dchrisum0lem2  25141  dchrisum0lem3  25142  dchrisum0  25143  pntlemb  25220  pntlemh  25222  pntlemr  25225  pntlemj  25226  pntlemk  25229  minvecolem5  27625  rrndstprj2  33301  rrncmslem  33302  rrnequiv  33305  pellexlem4  36915  pell1qrgaplem  36956  pell14qrgapw  36959  pellqrexplicit  36960  pellqrex  36962  pellfundge  36965  pellfundgt1  36966  rmspecfund  36993  rmxycomplete  37001  stirlinglem2  39629  stirlinglem4  39631  stirlinglem13  39640  stirlinglem15  39642  stirlingr  39644  qndenserrnbllem  39851  hoiqssbllem1  40173  hoiqssbllem2  40174  hoiqssbllem3  40175
  Copyright terms: Public domain W3C validator