MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum 25260
Description: The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to log𝑥 / ϕ(𝑥) + 𝑂(1). Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
Assertion
Ref Expression
rpvmasum (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛,𝑥   𝑈,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpvmasum
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . . 14 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑁 ∈ ℕ)
5 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (DChr‘𝑁) = (DChr‘𝑁)
6 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘(DChr‘𝑁)) = (Base‘(DChr‘𝑁))
7 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g‘(DChr‘𝑁)) = (0g‘(DChr‘𝑁))
8 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑚 = 𝑛 → (𝐿𝑚) = (𝐿𝑛))
98fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛 → (𝑦‘(𝐿𝑚)) = (𝑦‘(𝐿𝑛)))
10 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
119, 10oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛))
1211cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛)
1312eqeq1i 2656 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0 ↔ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0)
1413rabbii 3216 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑛 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑛)) / 𝑛) = 0}
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
161, 2, 4, 5, 6, 7, 14, 15dchrisum0 25254 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1716imnani 438 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})
1817eq0rdv 4012 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = ∅)
1918fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = (#‘∅))
20 hash0 13196 . . . . . . . . . 10 (#‘∅) = 0
2119, 20syl6eq 2701 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) = 0)
2221oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = (1 − 0))
23 1m0e1 11169 . . . . . . . 8 (1 − 0) = 1
2422, 23syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2524adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})) = 1)
2625oveq2d 6706 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = ((log‘𝑥) · 1))
27 relogcl 24367 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2827adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
2928recnd 10106 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
3029mulid1d 10095 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
3126, 30eqtrd 2685 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))) = (log‘𝑥))
3231oveq2d 6706 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0})))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
3332mpteq2dva 4777 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
34 eqid 2651 . . 3 {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} = {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
35 rpvmasum.u . . 3 𝑈 = (Unit‘𝑍)
36 rpvmasum.b . . 3 (𝜑𝐴𝑈)
37 rpvmasum.t . . 3 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
3816pm2.21i 116 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ {𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}) → 𝐴 = (1r𝑍))
391, 2, 3, 5, 6, 7, 34, 35, 36, 37, 38rpvmasum2 25246 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘{𝑦 ∈ ((Base‘(DChr‘𝑁)) ∖ {(0g‘(DChr‘𝑁))}) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}))))) ∈ 𝑂(1))
4033, 39eqeltrrd 2731 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  ccnv 5142  cima 5146  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631  #chash 13157  𝑂(1)co1 14261  Σcsu 14460  ϕcphi 15516  Basecbs 15904  0gc0g 16147  1rcur 18547  Unitcui 18685  ℤRHomczrh 19896  ℤ/nczn 19899  logclog 24346  Λcvma 24863  DChrcdchr 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-rpss 6979  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-s1 13334  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-o1 14265  df-lo1 14266  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-numer 15490  df-denom 15491  df-phi 15518  df-pc 15589  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-qus 16216  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-nsg 17639  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-gim 17748  df-ga 17769  df-cntz 17796  df-oppg 17822  df-od 17994  df-gex 17995  df-pgp 17996  df-lsm 18097  df-pj1 18098  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-cyg 18326  df-dprd 18440  df-dpj 18441  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-lidl 19222  df-rsp 19223  df-2idl 19280  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zn 19903  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676  df-ply 23989  df-idp 23990  df-coe 23991  df-dgr 23992  df-quot 24091  df-log 24348  df-cxp 24349  df-em 24764  df-cht 24868  df-vma 24869  df-chp 24870  df-ppi 24871  df-mu 24872  df-dchr 25003
This theorem is referenced by:  rplogsum  25261
  Copyright terms: Public domain W3C validator