MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpvmasum2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpvmasum2 24918
Description: A partial result along the lines of rpvmasum 24932. The sum of the von Mangoldt function over those integers 𝑛𝐴 (mod 𝑁) is asymptotic to (1 − 𝑀)(log𝑥 / ϕ(𝑥)) + 𝑂(1), where 𝑀 is the number of non-principal Dirichlet characters with Σ𝑛 ∈ ℕ, 𝑋(𝑛) / 𝑛 = 0. Our goal is to show this set is empty. Equation 9.4.3 of [Shapiro], p. 375. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
rpvmasum2.w 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
rpvmasum2.u 𝑈 = (Unit‘𝑍)
rpvmasum2.b (𝜑𝐴𝑈)
rpvmasum2.t 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
rpvmasum2.z1 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
Assertion
Ref Expression
rpvmasum2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝑓, 1   𝐴,𝑓,𝑚,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥   𝑇,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑈,𝑚,𝑛,𝑥   𝑓,𝑊,𝑥   𝑓,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑓,𝐿,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝐴,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝑇(𝑓)   𝑈(𝑦,𝑓)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑊(𝑦,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem rpvmasum2
Dummy variables 𝑐 𝑡 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.a . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 rpvmasum2.g . . . . . . 7 𝐺 = (DChr‘𝑁)
4 rpvmasum2.d . . . . . . 7 𝐷 = (Base‘𝐺)
53, 4dchrfi 24697 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ Fin)
62, 5syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ Fin)
7 fzfid 12589 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
8 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
9 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝑍) = (Base‘𝑍)
10 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
113, 8, 4, 9, 10dchrf 24684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
12 rpvmasum2.u . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑈 = (Unit‘𝑍)
139, 12unitss 18429 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑈 ⊆ (Base‘𝑍)
14 rpvmasum2.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝑈)
1513, 14sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝐴 ∈ (Base‘𝑍))
1711, 16ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
1817cjcld 13730 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
1918adantlr 746 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2019adantrl 747 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
2111adantlr 746 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
2221adantlr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓:(Base‘𝑍)⟶ℂ)
231nnnn0d 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
24 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
258, 9, 24znzrhfo 19660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍))
26 fof 6013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿:ℤ–onto→(Base‘𝑍) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2723, 25, 263syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
2827adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍))
29 elfzelz 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℤ)
30 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3128, 29, 30syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3231adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝐿𝑛) ∈ (Base‘𝑍))
3322, 32ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
3433anasss 676 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → (𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ)
35 elfznn 12196 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
37 vmacl 24561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Λ‘𝑛) ∈ ℝ)
3938, 36nndivred 10916 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℝ)
4039recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4140adantrr 748 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
4234, 41mulcld 9916 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
4320, 42mulcld 9916 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
4443anass1rs 844 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
457, 44fsumcl 14257 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) ∈ ℂ)
46 relogcl 24043 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℝ)
4847recnd 9924 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
4948adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
50 ax-1cn 9850 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
51 neg1cn 10971 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
52 0cn 9888 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
5351, 52keepel 4104 . . . . . . 7 if(𝑓𝑊, -1, 0) ∈ ℂ
5450, 53keepel 4104 . . . . . 6 if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ
55 mulcl 9876 . . . . . 6 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
5649, 54, 55sylancl 692 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) ∈ ℂ)
576, 45, 56fsumsub 14308 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
5842anass1rs 844 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
597, 58fsumcl 14257 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
6019, 59, 56subdid 10336 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))))
617, 19, 58fsummulc2 14304 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
6254a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) ∈ ℂ)
6319, 49, 62mul12d 10096 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
64 ovif2 6614 . . . . . . . . . 10 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
65 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = 1 → (𝑓𝐴) = ( 1𝐴))
66 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 = (0g𝐺)
671ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
6814ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝐴𝑈)
693, 8, 66, 12, 67, 68dchr1 24699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ( 1𝐴) = 1)
7065, 69sylan9eqr 2665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑓𝐴) = 1)
7170fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
72 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
73 cjre 13673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7472, 73ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∗‘1) = 1
7571, 74syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
7675oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = (1 · 1))
77 1t1e1 11022 . . . . . . . . . . . . 13 (1 · 1) = 1
7876, 77syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1) = 1)
7978ifeq1da 4065 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
80 df-ne 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓1 ↔ ¬ 𝑓 = 1 )
81 ovif2 6614 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0))
82 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝜑)
83 rpvmasum2.z1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑓𝑊) → 𝐴 = (1r𝑍))
8483fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
8582, 84sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = (𝑓‘(1r𝑍)))
863, 8, 4dchrmhm 24683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝐷 ⊆ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld))
87 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓𝐷)
8886, 87sseldi 3565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → 𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)))
89 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (mulGrp‘𝑍) = (mulGrp‘𝑍)
90 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1r𝑍) = (1r𝑍)
9189, 90ringidval 18272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1r𝑍) = (0g‘(mulGrp‘𝑍))
92 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
93 cnfld1 19536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (1r‘ℂfld)
9492, 93ringidval 18272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
9591, 94mhm0 17112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 ∈ ((mulGrp‘𝑍) MndHom (mulGrp‘ℂfld)) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9688, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9796ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓‘(1r𝑍)) = 1)
9885, 97eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (𝑓𝐴) = 1)
9998fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = (∗‘1))
10099, 74syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → (∗‘(𝑓𝐴)) = 1)
101100oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = (1 · -1))
10251mulid2i 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 · -1) = -1
103101, 102syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑓𝑊) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1) = -1)
104103ifeq1da 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)))
10519adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
106105mul01d 10086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0) = 0)
107106ifeq2d 4054 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, -1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
108104, 107eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → if(𝑓𝑊, ((∗‘(𝑓𝐴)) · -1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
10981, 108syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
11080, 109sylan2br 491 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) ∧ ¬ 𝑓 = 1 ) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
111110ifeq2da 4066 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , 1, ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
11279, 111eqtrd 2643 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → if(𝑓 = 1 , ((∗‘(𝑓𝐴)) · 1), ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
11364, 112syl5eq 2655 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))
114113oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((log‘𝑥) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11563, 114eqtrd 2643 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
11661, 115oveq12d 6545 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (((∗‘(𝑓𝐴)) · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
11760, 116eqtrd 2643 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
118117sumeq2dv 14227 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = Σ𝑓𝐷𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
119 fzfid 12589 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
120 inss1 3794 . . . . . . . . 9 ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))
121 ssfi 8042 . . . . . . . . 9 (((1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥))) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
122119, 120, 121sylancl 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ∈ Fin)
1232phicld 15261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℕ)
124123nncnd 10883 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
125120a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
126125sselda 3567 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)))
127126, 40syldan 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
128122, 124, 127fsummulc2 14304 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
129124adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (ϕ‘𝑁) ∈ ℂ)
130129, 40mulcld 9916 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
131126, 130syldan 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)) → ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
132131ralrimiva 2948 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
133119olcd 406 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin))
134 sumss2 14250 . . . . . . . 8 (((((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ ∀𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ) ∧ ((1...(⌊‘𝑥)) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
135125, 132, 133, 134syl21anc 1316 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
136 elin 3757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) ∧ 𝑛𝑇))
137136baib 941 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
138137adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇) ↔ 𝑛𝑇))
139 rpvmasum2.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐿 “ {𝐴})
140139eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑇𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}))
141 ffn 5944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑍) → 𝐿 Fn ℤ)
14228, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐿 Fn ℤ)
143 fniniseg 6231 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 Fn ℤ → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑛) = 𝐴)))
144143baibd 945 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
145142, 29, 144syl2an 492 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 ∈ (𝐿 “ {𝐴}) ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
146140, 145syl5bb 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛𝑇 ↔ (𝐿𝑛) = 𝐴))
147138, 146bitr2d 267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐿𝑛) = 𝐴𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)))
14840mul02d 10085 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = 0)
149147, 148ifbieq2d 4060 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0))
150 ovif 6613 . . . . . . . . . 10 (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
1511ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑁 ∈ ℕ)
152151, 5syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐷 ∈ Fin)
15319adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
15433, 153mulcld 9916 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ ℂ)
155152, 40, 154fsummulc1 14305 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15614ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴𝑈)
1573, 4, 8, 9, 12, 151, 31, 156sum2dchr 24716 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) = if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0))
158157oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (Σ𝑓𝐷 ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
15940adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
160 mulass 9880 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
161 mul12 10053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
162160, 161eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) ∈ ℂ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ ∧ ((Λ‘𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
16333, 153, 159, 162syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) ∧ 𝑓𝐷) → (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
164163sumeq2dv 14227 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → Σ𝑓𝐷 (((𝑓‘(𝐿𝑛)) · (∗‘(𝑓𝐴))) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
165155, 158, 1643eqtr3d 2651 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (if((𝐿𝑛) = 𝐴, (ϕ‘𝑁), 0) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
166150, 165syl5eqr 2657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if((𝐿𝑛) = 𝐴, ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), (0 · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
167149, 166eqtr3d 2645 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
168167sumeq2dv 14227 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))if(𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇), ((ϕ‘𝑁) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)), 0) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
169128, 135, 1683eqtrd 2647 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
170119, 6, 43fsumcom 14295 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
171169, 170eqtrd 2643 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))))
1723dchrabl 24696 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐺 ∈ Abel)
173 ablgrp 17967 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
1744, 66grpidcl 17219 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 1𝐷)
1752, 172, 173, 1744syl 19 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1𝐷)
17648mulid1d 9913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
177176, 48eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ)
178 iftrue 4041 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = 1)
179178oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
180179sumsn 14265 . . . . . . . . 9 (( 1𝐷 ∧ ((log‘𝑥) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
181175, 177, 180syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · 1))
182 eldifsn 4259 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ↔ (𝑓𝐷𝑓1 ))
183 ifnefalse 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓1 → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
184183ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, -1, 0))
185 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 1 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -1)
186 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = -0)
187 neg0 10178 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
188186, 187syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, 1, 0) = 0)
189185, 188ifsb 4048 . . . . . . . . . . . . . 14 -if(𝑓𝑊, 1, 0) = if(𝑓𝑊, -1, 0)
190184, 189syl6eqr 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, 1, 0))
191190oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)))
19248adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
19350, 52keepel 4104 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ
194 mulneg2 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
195192, 193, 194sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · -if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
196191, 195eqtrd 2643 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ (𝑓𝐷𝑓1 )) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
197182, 196sylan2b 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
198197sumeq2dv 14227 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
199 diffi 8054 . . . . . . . . . . 11 (𝐷 ∈ Fin → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
2006, 199syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)
20148adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
202 mulcl 9876 . . . . . . . . . . 11 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
203201, 193, 202sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) ∈ ℂ)
204200, 203fsumneg 14307 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })-((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
205193a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })) → if(𝑓𝑊, 1, 0) ∈ ℂ)
206200, 48, 205fsummulc2 14304 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)))
207 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑊 = {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0}
208 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦 ∈ (𝐷 ∖ { 1 }) ∣ Σ𝑚 ∈ ℕ ((𝑦‘(𝐿𝑚)) / 𝑚) = 0} ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
209207, 208eqsstri 3597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 })
210 difss 3698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ 𝐷
211209, 210sstri 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑊𝐷
212 ssfi 8042 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ Fin ∧ 𝑊𝐷) → 𝑊 ∈ Fin)
2136, 211, 212sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ∈ Fin)
214 fsumconst 14310 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑓𝑊 1 = ((#‘𝑊) · 1))
215213, 50, 214sylancl 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = ((#‘𝑊) · 1))
216209a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }))
21750a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
218217ralrimivw 2949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ)
219200olcd 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin))
220 sumss2 14250 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ⊆ (𝐷 ∖ { 1 }) ∧ ∀𝑓𝑊 1 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∖ { 1 }) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (𝐷 ∖ { 1 }) ∈ Fin)) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
221216, 218, 219, 220syl21anc 1316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝑊 1 = Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0))
222 hashcl 12961 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Fin → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
223213, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
224223nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (#‘𝑊) ∈ ℂ)
225224mulid1d 9913 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((#‘𝑊) · 1) = (#‘𝑊))
226215, 221, 2253eqtr3d 2651 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0) = (#‘𝑊))
227226oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
228206, 227eqtr3d 2645 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
229228negeqd 10126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → -Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, 1, 0)) = -((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
230198, 204, 2293eqtrd 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = -((log‘𝑥) · (#‘𝑊)))
231181, 230oveq12d 6545 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
23248, 224mulcld 9916 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (#‘𝑊)) ∈ ℂ)
233177, 232negsubd 10249 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑥) · 1) + -((log‘𝑥) · (#‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
234231, 233eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
235 disjdif 3991 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅
236235a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∩ (𝐷 ∖ { 1 })) = ∅)
237 undif2 3995 . . . . . . . 8 ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })) = ({ 1 } ∪ 𝐷)
238175snssd 4280 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → { 1 } ⊆ 𝐷)
239 ssequn1 3744 . . . . . . . . 9 ({ 1 } ⊆ 𝐷 ↔ ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
240238, 239sylib 206 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ({ 1 } ∪ 𝐷) = 𝐷)
241237, 240syl5req 2656 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝐷 = ({ 1 } ∪ (𝐷 ∖ { 1 })))
242236, 241, 6, 56fsumsplit 14264 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑓 ∈ { 1 } ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) + Σ𝑓 ∈ (𝐷 ∖ { 1 })((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24348, 217, 224subdid 10336 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) = (((log‘𝑥) · 1) − ((log‘𝑥) · (#‘𝑊))))
244234, 242, 2433eqtr4rd 2654 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))) = Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))
245171, 244oveq12d 6545 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))) = (Σ𝑓𝐷 Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((∗‘(𝑓𝐴)) · ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛))) − Σ𝑓𝐷 ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))
24657, 118, 2453eqtr4d 2653 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊)))))
247246mpteq2dva 4666 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))))
248 rpssre 11675 . . . 4 + ⊆ ℝ
249248a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
2501, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Fin)
25117adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ ℂ)
252251cjcld 13730 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
25359, 56subcld 10243 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
254252, 253mulcld 9916 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓𝐷) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
255254anasss 676 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑓𝐷)) → ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ ℂ)
25618adantr 479 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ)
257253an32s 841 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) ∈ ℂ)
258 o1const 14144 . . . . 5 ((ℝ+ ⊆ ℝ ∧ (∗‘(𝑓𝐴)) ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
259248, 18, 258sylancr 693 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (∗‘(𝑓𝐴))) ∈ 𝑂(1))
260 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = 1 → (𝑓‘(𝐿𝑛)) = ( 1 ‘(𝐿𝑛)))
261260oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = 1 → ((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = (( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
262261sumeq2sdv 14228 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = 1 → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)))
263262, 179oveq12d 6545 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
264263adantl 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)))
26546recnd 9924 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
266265mulid1d 9913 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ+ → ((log‘𝑥) · 1) = (log‘𝑥))
267266oveq2d 6543 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · 1)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
268264, 267sylan9eq 2663 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥)))
269268mpteq2dva 4666 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))))
2708, 24, 1, 3, 4, 66rpvmasumlem 24893 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
271270ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(( 1 ‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − (log‘𝑥))) ∈ 𝑂(1))
272269, 271eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓 = 1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
273183oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (𝑓1 → ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))) = ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)))
274273oveq2d 6543 . . . . . . . . 9 (𝑓1 → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))))
27548adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
276 mulcom 9878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
277275, 51, 276sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = (-1 · (log‘𝑥)))
278275mulm1d 10332 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (-1 · (log‘𝑥)) = -(log‘𝑥))
279277, 278eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · -1) = -(log‘𝑥))
280275mul01d 10086 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · 0) = 0)
281279, 280ifeq12d 4055 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0)) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0))
282 ovif2 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = if(𝑓𝑊, ((log‘𝑥) · -1), ((log‘𝑥) · 0))
283 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = (log‘𝑥) → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -(log‘𝑥))
284 negeq 10124 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = -0)
285284, 187syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0 → -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = 0)
286283, 285ifsb 4048 . . . . . . . . . . . 12 -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑓𝑊, -(log‘𝑥), 0)
287281, 282, 2863eqtr4g 2668 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0)) = -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))
288287oveq2d 6543 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
28959an32s 841 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) ∈ ℂ)
290 ifcl 4079 . . . . . . . . . . . 12 (((log‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
291275, 52, 290sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) ∈ ℂ)
292289, 291subnegd 10250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − -if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
293288, 292eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓𝑊, -1, 0))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
294274, 293sylan9eqr 2665 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑓1 ) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
295294an32s 841 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)))
296295mpteq2dva 4666 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))))
2971ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑁 ∈ ℕ)
298 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓𝐷)
299 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → 𝑓1 )
300 eqid 2609 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)) = (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))
3018, 24, 297, 3, 4, 66, 298, 299, 300dchrmusumlema 24899 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → ∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))
3021adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝐷) → 𝑁 ∈ ℕ)
303302ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑁 ∈ ℕ)
304298adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓𝐷)
305 simplr 787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑓1 )
306 simprl 789 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → 𝑐 ∈ (0[,)+∞))
307 simprrl 799 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡)
308 simprrr 800 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦))
3098, 24, 303, 3, 4, 66, 304, 305, 300, 306, 307, 308, 207dchrvmaeq0 24910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑓𝑊𝑡 = 0))
310 ifbi 4056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0) = if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))
311310oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0)) = (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0)))
312311mpteq2dv 4667 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑊𝑡 = 0) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
313309, 312syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))))
3148, 24, 303, 3, 4, 66, 304, 305, 300, 306, 307, 308dchrvmasumif 24909 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑡 = 0, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
315313, 314eqeltrd 2687 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) ∧ (𝑐 ∈ (0[,)+∞) ∧ (seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)))) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
316315rexlimdvaa 3013 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
317316exlimdv 1847 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (∃𝑡𝑐 ∈ (0[,)+∞)(seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎))) ⇝ 𝑡 ∧ ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘((seq1( + , (𝑎 ∈ ℕ ↦ ((𝑓‘(𝐿𝑎)) / 𝑎)))‘(⌊‘𝑦)) − 𝑡)) ≤ (𝑐 / 𝑦)) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1)))
318301, 317mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) + if(𝑓𝑊, (log‘𝑥), 0))) ∈ 𝑂(1))
319296, 318eqeltrd 2687 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐷) ∧ 𝑓1 ) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
320272, 319pm2.61dane 2868 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0))))) ∈ 𝑂(1))
321256, 257, 259, 320o1mul2 14149 . . 3 ((𝜑𝑓𝐷) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
322249, 250, 255, 321fsumo1 14331 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ Σ𝑓𝐷 ((∗‘(𝑓𝐴)) · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))((𝑓‘(𝐿𝑛)) · ((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · if(𝑓 = 1 , 1, if(𝑓𝑊, -1, 0)))))) ∈ 𝑂(1))
323247, 322eqeltrrd 2688 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (((ϕ‘𝑁) · Σ𝑛 ∈ ((1...(⌊‘𝑥)) ∩ 𝑇)((Λ‘𝑛) / 𝑛)) − ((log‘𝑥) · (1 − (#‘𝑊))))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  cdif 3536  cun 3537  cin 3538  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035  {csn 4124   class class class wbr 4577  cmpt 4637  ccnv 5027  cima 5031   Fn wfn 5785  wf 5786  ontowfo 5788  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cle 9931  cmin 10117  -cneg 10118   / cdiv 10533  cn 10867  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  +crp 11664  [,)cico 12004  ...cfz 12152  cfl 12408  seqcseq 12618  #chash 12934  ccj 13630  abscabs 13768  cli 14009  𝑂(1)co1 14011  Σcsu 14210  ϕcphi 15253  Basecbs 15641  0gc0g 15869   MndHom cmhm 17102  Grpcgrp 17191  Abelcabl 17963  mulGrpcmgp 18258  1rcur 18270  Unitcui 18408  fldccnfld 19513  ℤRHomczrh 19612  ℤ/nczn 19615  logclog 24022  Λcvma 24535  DChrcdchr 24674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-rpss 6812  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-tpos 7216  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-omul 7429  df-er 7606  df-ec 7608  df-qs 7612  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-acn 8628  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-word 13100  df-concat 13102  df-s1 13103  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-o1 14015  df-lo1 14016  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-phi 15255  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-qus 15938  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-mhm 17104  df-submnd 17105  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-mulg 17310  df-subg 17360  df-nsg 17361  df-eqg 17362  df-ghm 17427  df-gim 17470  df-ga 17492  df-cntz 17519  df-oppg 17545  df-od 17717  df-gex 17718  df-pgp 17719  df-lsm 17820  df-pj1 17821  df-cmn 17964  df-abl 17965  df-cyg 18049  df-dprd 18163  df-dpj 18164  df-mgp 18259  df-ur 18271  df-ring 18318  df-cring 18319  df-oppr 18392  df-dvdsr 18410  df-unit 18411  df-invr 18441  df-dvr 18452  df-rnghom 18484  df-drng 18518  df-subrg 18547  df-lmod 18634  df-lss 18700  df-lsp 18739  df-sra 18939  df-rgmod 18940  df-lidl 18941  df-rsp 18942  df-2idl 18999  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-zring 19584  df-zrh 19616  df-zn 19619  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-0p 23160  df-limc 23353  df-dv 23354  df-ply 23665  df-idp 23666  df-coe 23667  df-dgr 23668  df-quot 23767  df-log 24024  df-cxp 24025  df-em 24436  df-cht 24540  df-vma 24541  df-chp 24542  df-ppi 24543  df-mu 24544  df-dchr 24675
This theorem is referenced by:  dchrisum0re  24919  rpvmasum  24932
  Copyright terms: Public domain W3C validator