Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrhcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrhcn 29841
Description: If the topology of 𝑅 is Hausdorff, and 𝑅 is a complete uniform space, then the canonical homomorphism from the real numbers to 𝑅 is continuous. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
rrhf.d 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
rrhf.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
rrhf.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rrhf.k 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
rrhf.z 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
rrhf.1 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
rrhf.2 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
rrhf.3 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
rrhf.4 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
rrhf.5 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
rrhf.6 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
Assertion
Ref Expression
rrhcn (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Proof of Theorem rrhcn
StepHypRef Expression
1 rrhf.2 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ NrmRing)
2 nrgngp 22385 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
3 ngpxms 22324 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmGrp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ ∞MetSp)
5 xmstps 22177 . . . 4 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝑅 ∈ TopSp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ TopSp)
7 rrhf.j . . . 4 𝐽 = (topGen‘ran (,))
8 rrhf.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘𝑅)
97, 8rrhval 29840 . . 3 (𝑅 ∈ TopSp → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
106, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) = ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)))
11 rebase 19880 . . 3 ℝ = (Base‘ℝfld)
12 rrhf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 retopn 23086 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (TopOpen‘ℝfld)
147, 13eqtri 2643 . . 3 𝐽 = (TopOpen‘ℝfld)
15 eqid 2621 . . 3 (UnifSt‘ℝfld) = (UnifSt‘ℝfld)
16 df-refld 19879 . . . . . 6 fld = (ℂflds ℝ)
1716oveq1i 6620 . . . . 5 (ℝflds ℚ) = ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ)
18 reex 9978 . . . . . 6 ℝ ∈ V
19 qssre 11749 . . . . . 6 ℚ ⊆ ℝ
20 ressabs 15867 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ) = (ℂflds ℚ))
2118, 19, 20mp2an 707 . . . . 5 ((ℂflds ℝ) ↾s ℚ) = (ℂflds ℚ)
2217, 21eqtr2i 2644 . . . 4 (ℂflds ℚ) = (ℝflds ℚ)
2322fveq2i 6156 . . 3 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = (UnifSt‘(ℝflds ℚ))
24 eqid 2621 . . 3 (UnifSt‘𝑅) = (UnifSt‘𝑅)
25 recms 23087 . . . . 5 fld ∈ CMetSp
26 cmsms 23064 . . . . 5 (ℝfld ∈ CMetSp → ℝfld ∈ MetSp)
27 mstps 22179 . . . . 5 (ℝfld ∈ MetSp → ℝfld ∈ TopSp)
2825, 26, 27mp2b 10 . . . 4 fld ∈ TopSp
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ TopSp)
30 recusp 23089 . . . 4 fld ∈ CUnifSp
31 cuspusp 22023 . . . 4 (ℝfld ∈ CUnifSp → ℝfld ∈ UnifSp)
3230, 31mp1i 13 . . 3 (𝜑 → ℝfld ∈ UnifSp)
33 rrhf.5 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CUnifSp)
34 rrhf.d . . . . . 6 𝐷 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵))
358, 12, 34xmstopn 22175 . . . . 5 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
364, 35syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘𝐷))
3712, 34xmsxmet 22180 . . . . 5 (𝑅 ∈ ∞MetSp → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵))
38 eqid 2621 . . . . . 6 (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
3938methaus 22244 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝐵) → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
404, 37, 393syl 18 . . . 4 (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) ∈ Haus)
4136, 40eqeltrd 2698 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
4219a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℚ ⊆ ℝ)
43 eqid 2621 . . . . 5 (ℂflds ℚ) = (ℂflds ℚ)
44 eqid 2621 . . . . 5 (UnifSt‘(ℂflds ℚ)) = (UnifSt‘(ℂflds ℚ))
4534fveq2i 6156 . . . . 5 (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘((dist‘𝑅) ↾ (𝐵 × 𝐵)))
46 rrhf.z . . . . 5 𝑍 = (ℤMod‘𝑅)
47 rrhf.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
48 rrhf.3 . . . . 5 (𝜑𝑍 ∈ NrmMod)
49 rrhf.4 . . . . 5 (𝜑 → (chr‘𝑅) = 0)
5012, 43, 44, 45, 46, 1, 47, 48, 49qqhucn 29836 . . . 4 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)))
51 rrhf.6 . . . . . 6 (𝜑 → (UnifSt‘𝑅) = (metUnif‘𝐷))
5251eqcomd 2627 . . . . 5 (𝜑 → (metUnif‘𝐷) = (UnifSt‘𝑅))
5352oveq2d 6626 . . . 4 (𝜑 → ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(metUnif‘𝐷)) = ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
5450, 53eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑 → (ℚHom‘𝑅) ∈ ((UnifSt‘(ℂflds ℚ)) Cnu(UnifSt‘𝑅)))
557fveq2i 6156 . . . . . 6 (cls‘𝐽) = (cls‘(topGen‘ran (,)))
5655fveq1i 6154 . . . . 5 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ)
57 qdensere 22492 . . . . 5 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
5856, 57eqtri 2643 . . . 4 ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ
5958a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘ℚ) = ℝ)
6011, 12, 14, 8, 15, 23, 24, 29, 32, 6, 33, 41, 42, 54, 59ucnextcn 22027 . 2 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘(ℚHom‘𝑅)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
6110, 60eqeltrd 2698 1 (𝜑 → (ℝHom‘𝑅) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  wss 3559   × cxp 5077  ran crn 5080  cres 5081  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9886  0cc0 9887  cq 11739  (,)cioo 12124  Basecbs 15788  s cress 15789  distcds 15878  TopOpenctopn 16010  topGenctg 16026  DivRingcdr 18675  ∞Metcxmt 19659  MetOpencmopn 19664  metUnifcmetu 19665  fldccnfld 19674  ℤModczlm 19777  chrcchr 19778  fldcrefld 19878  TopSpctps 20656  clsccl 20741   Cn ccn 20947  Hauscha 21031  CnExtccnext 21782  UnifStcuss 21976  UnifSpcusp 21977   Cnucucn 21998  CUnifSpccusp 22020  ∞MetSpcxme 22041  MetSpcmt 22042  NrmGrpcngp 22301  NrmRingcnrg 22303  NrmModcnlm 22304  CMetSpccms 23048  ℚHomcqqh 29816  ℝHomcrrh 29837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8489  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-pre-sup 9965  ax-addf 9966  ax-mulf 9967
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7860  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-fin 7910  df-fsupp 8227  df-fi 8268  df-sup 8299  df-inf 8300  df-oi 8366  df-card 8716  df-cda 8941  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-nn 10972  df-2 11030  df-3 11031  df-4 11032  df-5 11033  df-6 11034  df-7 11035  df-8 11036  df-9 11037  df-n0 11244  df-z 11329  df-dec 11445  df-uz 11639  df-q 11740  df-rp 11784  df-xneg 11897  df-xadd 11898  df-xmul 11899  df-ioo 12128  df-ico 12130  df-icc 12131  df-fz 12276  df-fzo 12414  df-fl 12540  df-mod 12616  df-seq 12749  df-exp 12808  df-hash 13065  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-sqrt 13916  df-abs 13917  df-dvds 14915  df-gcd 15148  df-numer 15374  df-denom 15375  df-gz 15565  df-struct 15790  df-ndx 15791  df-slot 15792  df-base 15793  df-sets 15794  df-ress 15795  df-plusg 15882  df-mulr 15883  df-starv 15884  df-sca 15885  df-vsca 15886  df-ip 15887  df-tset 15888  df-ple 15889  df-ds 15892  df-unif 15893  df-hom 15894  df-cco 15895  df-rest 16011  df-topn 16012  df-0g 16030  df-gsum 16031  df-topgen 16032  df-pt 16033  df-prds 16036  df-xrs 16090  df-qtop 16095  df-imas 16096  df-xps 16098  df-mre 16174  df-mrc 16175  df-acs 16177  df-mgm 17170  df-sgrp 17212  df-mnd 17223  df-mhm 17263  df-submnd 17264  df-grp 17353  df-minusg 17354  df-sbg 17355  df-mulg 17469  df-subg 17519  df-ghm 17586  df-cntz 17678  df-od 17876  df-cmn 18123  df-abl 18124  df-mgp 18418  df-ur 18430  df-ring 18477  df-cring 18478  df-oppr 18551  df-dvdsr 18569  df-unit 18570  df-invr 18600  df-dvr 18611  df-rnghom 18643  df-drng 18677  df-subrg 18706  df-abv 18745  df-lmod 18793  df-nzr 19186  df-psmet 19666  df-xmet 19667  df-met 19668  df-bl 19669  df-mopn 19670  df-fbas 19671  df-fg 19672  df-metu 19673  df-cnfld 19675  df-zring 19747  df-zrh 19780  df-zlm 19781  df-chr 19782  df-refld 19879  df-top 20627  df-topon 20644  df-topsp 20657  df-bases 20670  df-cld 20742  df-ntr 20743  df-cls 20744  df-nei 20821  df-cn 20950  df-cnp 20951  df-haus 21038  df-reg 21039  df-cmp 21109  df-tx 21284  df-hmeo 21477  df-fil 21569  df-fm 21661  df-flim 21662  df-flf 21663  df-fcls 21664  df-cnext 21783  df-ust 21923  df-utop 21954  df-uss 21979  df-usp 21980  df-ucn 21999  df-cfilu 22010  df-cusp 22021  df-xms 22044  df-ms 22045  df-tms 22046  df-nm 22306  df-ngp 22307  df-nrg 22309  df-nlm 22310  df-cncf 22600  df-cfil 22972  df-cmet 22974  df-cms 23051  df-qqh 29817  df-rrh 29839
This theorem is referenced by:  rrhf  29842  rrhcne  29857
  Copyright terms: Public domain W3C validator