Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrncmslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrncmslem 33249
Description: Lemma for rrncms 33250. (Contributed by Jeff Madsen, 6-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
rrncms.3 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
rrncms.4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
rrncms.5 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
rrncms.6 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
rrncms.7 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
Assertion
Ref Expression
rrncmslem (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Distinct variable groups:   𝑚,𝐼   𝑡,𝑚,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑚)   𝑃(𝑡,𝑚)   𝐼(𝑡)   𝐽(𝑡,𝑚)   𝑀(𝑡,𝑚)   𝑋(𝑡,𝑚)

Proof of Theorem rrncmslem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑥 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmrel 20939 . 2 Rel (⇝𝑡𝐽)
2 fvex 6160 . . . . . . . 8 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) ∈ V
3 rrncms.7 . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑚𝐼 ↦ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))))
42, 3fnmpti 5981 . . . . . . 7 𝑃 Fn 𝐼
54a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑃 Fn 𝐼)
6 nnuz 11667 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
7 1zzd 11353 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
8 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 = 𝑘 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑘))
98fveq1d 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 = 𝑘 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
10 eqid 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))
11 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ V
129, 10, 11fvmpt 6240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
14 rrncms.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
1514ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
16 rrnval.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
1715, 16syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
18 elmapi 7824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘):𝐼⟶ℝ)
2019ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2120an32s 845 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
2213, 21eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
2322recnd 10013 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
24 rrncms.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)))
25 rrncms.4 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2616rrnmet 33246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
28 metxmet 22044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℝn𝐼) ∈ (∞Met‘𝑋))
30 1zzd 11353 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
31 eqidd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
32 eqidd 2627 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) = (𝐹𝑗))
336, 29, 30, 31, 32, 14iscauf 22981 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐹 ∈ (Cau‘(ℝn𝐼)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥))
3424, 33mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥)
3625ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐼 ∈ Fin)
37 simpllr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑛𝐼)
3814ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
39 eluznn 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4039adantll 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4138, 40ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
42 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑗 ∈ ℕ)
4338, 42ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
44 rrndstprj1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4516, 44rrndstprj1 33247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑛𝐼) ∧ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4636, 37, 41, 43, 45syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)))
4727ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
48 metsym 22060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
4947, 41, 43, 48syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)(𝐹𝑗)) = ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5046, 49breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5150adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)))
5244remet 22496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑀 ∈ (Met‘ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑀 ∈ (Met‘ℝ))
54 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝜑𝑛𝐼))
5554, 40, 21syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
5614ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ 𝑋)
5756, 16syl6eleq 2714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
58 elmapi 7824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐹𝑗) ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗):𝐼⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6160an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ)
63 metcl 22042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ (Met‘ℝ) ∧ ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6453, 55, 62, 63syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
6564adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ)
66 metcl 22042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑗) ∈ 𝑋 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6747, 43, 41, 66syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
6867adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
69 rpre 11783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
7069adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
7170ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ)
72 lelttr 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7365, 68, 71, 72syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) ≤ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) ∧ ((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7451, 73mpand 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7574ralimdva 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7675reximdva 3016 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7776ralimdva 2961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥))
7844remetdval 22495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
7955, 62, 78syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8040, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
81 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑡 = 𝑗 → (𝐹𝑡) = (𝐹𝑗))
8281fveq1d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑡 = 𝑗 → ((𝐹𝑡)‘𝑛) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
83 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑗)‘𝑛) ∈ V
8482, 10, 83fvmpt 6240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8584ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗) = ((𝐹𝑗)‘𝑛))
8680, 85oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗)) = (((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛)))
8786fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − ((𝐹𝑗)‘𝑛))))
8879, 87eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) = (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))))
8988breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ (abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9089ralbidva 2984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9190rexbidva 3047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9291ralbidv 2985 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀((𝐹𝑗)‘𝑛)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9377, 92sylibd 229 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝐼) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑗)(ℝn𝐼)(𝐹𝑘)) < 𝑥 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥))
9435, 93mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) − ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑗))) < 𝑥)
95 nnex 10971 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ ∈ V
9695mptex 6441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ V)
986, 23, 94, 97caucvg 14338 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ )
99 climdm 14214 . . . . . . . . . 10 ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ∈ dom ⇝ ↔ (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
10098, 99sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
101 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐹𝑡)‘𝑚) = ((𝐹𝑡)‘𝑛))
102101mpteq2dv 4710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚)) = (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)))
103102fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑚))) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
104 fvex 6160 . . . . . . . . . . 11 ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))) ∈ V
105103, 3, 104fvmpt 6240 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝐼 → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
106105adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) = ( ⇝ ‘(𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))))
107100, 106breqtrrd 4646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1086, 7, 107, 22climrecl 14243 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
109108ralrimiva 2965 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
110 ffnfv 6344 . . . . . 6 (𝑃:𝐼⟶ℝ ↔ (𝑃 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑛𝐼 (𝑃𝑛) ∈ ℝ))
1115, 109, 110sylanbrc 697 . . . . 5 (𝜑𝑃:𝐼⟶ℝ)
112 reex 9972 . . . . . 6 ℝ ∈ V
113 elmapg 7816 . . . . . 6 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑃 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
114112, 25, 113sylancr 694 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ 𝑃:𝐼⟶ℝ))
115111, 114mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
116115, 16syl6eleqr 2715 . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
117 1nn 10976 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
11825ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
11915adantlr 750 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
120116ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
12116rrnmval 33245 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
122118, 119, 120, 121syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)))
123 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 = ∅)
124123sumeq1d 14360 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2))
125 sum0 14380 . . . . . . . . . . . . 13 Σ𝑦 ∈ ∅ ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0
126124, 125syl6eq 2676 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2) = 0)
127126fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘Σ𝑦𝐼 ((((𝐹𝑘)‘𝑦) − (𝑃𝑦))↑2)) = (√‘0))
128122, 127eqtrd 2660 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = (√‘0))
129 sqrt0 13911 . . . . . . . . . 10 (√‘0) = 0
130128, 129syl6eq 2676 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) = 0)
131 simplrl 799 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
132131rpgt0d 11819 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑥)
133130, 132eqbrtrd 4640 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
134133ralrimiva 2965 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
135 fveq2 6150 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = (ℤ‘1))
136135, 6syl6eqr 2678 . . . . . . . . 9 (𝑗 = 1 → (ℤ𝑗) = ℕ)
137136raleqdv 3138 . . . . . . . 8 (𝑗 = 1 → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
138137rspcev 3300 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℕ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
139117, 134, 138sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 = ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
140139expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 = ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
141 1zzd 11353 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → 1 ∈ ℤ)
142 simprl 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
143 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ≠ ∅)
14425adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐼 ∈ Fin)
145 hashnncl 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((#‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ((#‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
147143, 146mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (#‘𝐼) ∈ ℕ)
148147nnrpd 11814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (#‘𝐼) ∈ ℝ+)
149148rpsqrtcld 14079 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℝ+)
150142, 149rpdivcld 11833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+)
151150adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+)
15212adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛))‘𝑘) = ((𝐹𝑘)‘𝑛))
153107adantlr 750 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑡 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑡)‘𝑛)) ⇝ (𝑃𝑛))
1546, 141, 151, 152, 153climi2 14171 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
155 1z 11352 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℤ
1566rexuz3 14017 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
157155, 156ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
15821adantllr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ)
159108adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ ℝ)
16144remetdval 22495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑘)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑛) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
162158, 160, 161syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) = (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))))
163162breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
16439, 163sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
165164anassrs 679 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ (abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
166165ralbidva 2984 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
167166rexbidva 3047 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
168157, 167syl5bbr 274 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘(((𝐹𝑘)‘𝑛) − (𝑃𝑛))) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
169154, 168mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑛𝐼) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
170169ralrimiva 2965 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
1716rexuz3 14017 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
172155, 171ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
173 rexfiuz 14016 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
174144, 173syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
175172, 174syl5bb 272 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ↔ ∀𝑛𝐼𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼)))))
176170, 175mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))
17725ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ Fin)
178 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ≠ ∅)
179 eldifsn 4292 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
180177, 178, 179sylanbrc 697 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
18114adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → 𝐹:ℕ⟶𝑋)
182181ffvelrnda 6316 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
183116ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑃𝑋)
184150adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+)
18516, 44rrndstprj2 33248 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼))))
186185expr 642 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑃𝑋) ∧ (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) ∈ ℝ+) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼)))))
187180, 182, 183, 184, 186syl31anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼)))))
188 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ+)
189188rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
190149adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℝ+)
191190rpcnd 11818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(#‘𝐼)) ∈ ℂ)
192190rpne0d 11821 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (√‘(#‘𝐼)) ≠ 0)
193189, 191, 192divcan1d 10747 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼))) = 𝑥)
194193breq2d 4630 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < ((𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) · (√‘(#‘𝐼))) ↔ ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
195187, 194sylibd 229 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
19639, 195sylan2 491 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
197196anassrs 679 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
198197ralimdva 2961 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
199198reximdva 3016 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)∀𝑛𝐼 (((𝐹𝑘)‘𝑛)𝑀(𝑃𝑛)) < (𝑥 / (√‘(#‘𝐼))) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
200176, 199mpd 15 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝐼 ≠ ∅)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
201200expr 642 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝐼 ≠ ∅ → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥))
202140, 201pm2.61dne 2882 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
203202ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)
204 rrncms.3 . . . 4 𝐽 = (MetOpen‘(ℝn𝐼))
205204, 29, 6, 30, 31, 14lmmbrf 22963 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)(ℝn𝐼)𝑃) < 𝑥)))
206116, 203, 205mpbir2and 956 . 2 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
207 releldm 5322 . 2 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
2081, 206, 207sylancr 694 1 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  cdif 3557  c0 3896  {csn 4153   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  cres 5081  ccom 5083  Rel wrel 5084   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   · cmul 9886   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  cz 11322  cuz 11631  +crp 11776  cexp 12797  #chash 13054  csqrt 13902  abscabs 13903  cli 14144  Σcsu 14345  ∞Metcxmt 19645  Metcme 19646  MetOpencmopn 19650  𝑡clm 20935  Caucca 22954  ncrrn 33242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ico 12120  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-lm 20938  df-cau 22957  df-rrn 33243
This theorem is referenced by:  rrncms  33250
  Copyright terms: Public domain W3C validator