Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrndstprj1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrndstprj1 33960
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
rrndstprj1.1 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
rrndstprj1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))

Proof of Theorem rrndstprj1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 807 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . 10 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
42, 3syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 elmapi 8047 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
76ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
98, 3syl6eleq 2849 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 elmapi 8047 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6523 . . . . . . 7 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 10670 . . . . . 6 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 13249 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1513sqge0d 13250 . . . . 5 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
16 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝐴))
17 fveq2 6353 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐺𝑘) = (𝐺𝐴))
1816, 17oveq12d 6832 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))
1918oveq1d 6829 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
20 simplr 809 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐴𝐼)
211, 14, 15, 19, 20fsumge1 14748 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2) ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
226, 20ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
2311, 20ffvelrnd 6524 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2422, 23resubcld 10670 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ)
25 absresq 14261 . . . . 5 (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
2624, 25syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) = (((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))↑2))
271, 14fsumrecl 14684 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ)
281, 14, 15fsumge0 14746 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
29 resqrtth 14215 . . . . 5 ((Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3027, 28, 29syl2anc 696 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3121, 26, 303brtr4d 4836 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2))
3224recnd 10280 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)) ∈ ℂ)
3332abscld 14394 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ∈ ℝ)
3427, 28resqrtcld 14375 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
3532absge0d 14402 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
3627, 28sqrtge0d 14378 . . . 4 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
3733, 34, 35, 36le2sqd 13258 . . 3 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ↔ ((abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴)))↑2) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))↑2)))
3831, 37mpbird 247 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))) ≤ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
39 rrndstprj1.1 . . . 4 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4039remetdval 22813 . . 3 (((𝐹𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐴) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
4122, 23, 40syl2anc 696 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) = (abs‘((𝐹𝐴) − (𝐺𝐴))))
423rrnmval 33958 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
43423expb 1114 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4443adantlr 753 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
4538, 41, 443brtr4d 4836 1 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐴)𝑀(𝐺𝐴)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804   × cxp 5264   ↾ cres 5268   ∘ ccom 5270  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↑𝑚 cmap 8025  Fincfn 8123  ℝcr 10147  0cc0 10148   ≤ cle 10287   − cmin 10478  2c2 11282  ↑cexp 13074  √csqrt 14192  abscabs 14193  Σcsu 14635  ℝncrrn 33955 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-oi 8582  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-seq 13016  df-exp 13075  df-hash 13332  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-clim 14438  df-sum 14636  df-rrn 33956 This theorem is referenced by:  rrncmslem  33962  rrnequiv  33965
 Copyright terms: Public domain W3C validator