Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmbl 39304
Description: The set of n-dimensional Real numbers is Lebesgue measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnmbl.1 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnmbl (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmbl
StepHypRef Expression
1 rrnmbl.1 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21ovnome 39263 . . 3 (𝜑 → (voln*‘𝑋) ∈ OutMeas)
3 eqid 2605 . . 3 dom (voln*‘𝑋) = dom (voln*‘𝑋)
4 eqid 2605 . . 3 (CaraGen‘(voln*‘𝑋)) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋))
52, 3, 4caragenunidm 39198 . 2 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
61dmovn 39294 . . . . 5 (𝜑 → dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
76unieqd 4372 . . . 4 (𝜑 dom (voln*‘𝑋) = 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋))
8 unipw 4835 . . . . 5 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋)
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 𝒫 (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
107, 9eqtr2d 2640 . . 3 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = dom (voln*‘𝑋))
111dmvon 39296 . . 3 (𝜑 → dom (voln‘𝑋) = (CaraGen‘(voln*‘𝑋)))
1210, 11eleq12d 2677 . 2 (𝜑 → ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋) ↔ dom (voln*‘𝑋) ∈ (CaraGen‘(voln*‘𝑋))))
135, 12mpbird 245 1 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∈ dom (voln‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  𝒫 cpw 4103   cuni 4362  dom cdm 5024  cfv 5786  (class class class)co 6523  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814  cr 9787  CaraGenccaragen 39181  voln*covoln 39226  volncvoln 39228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cc 9113  ax-ac2 9141  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-disj 4544  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-ac 8795  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-prod 14417  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-rest 15848  df-0g 15867  df-topgen 15869  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-subg 17356  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-drng 18514  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-cmp 20938  df-ovol 22953  df-vol 22954  df-sumge0 39056  df-ome 39180  df-caragen 39182  df-ovoln 39227  df-voln 39229
This theorem is referenced by:  hoimbl  39321
  Copyright terms: Public domain W3C validator