Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmet 32592
Description: Euclidean space is a metric space. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmet (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem rrnmet
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
2 simprl 790 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥𝑋)
3 rrnval.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
42, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5 elmapi 7743 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥:𝐼⟶ℝ)
76ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
8 simprr 792 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦𝑋)
98, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
10 elmapi 7743 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦:𝐼⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
137, 12resubcld 10310 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
1413resqcld 12855 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
151, 14fsumrecl 14261 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ)
1613sqge0d 12856 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → 0 ≤ (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
171, 14, 16fsumge0 14317 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
1815, 17resqrtcld 13953 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
1918ralrimivva 2954 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ)
20 eqid 2610 . . . . 5 (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
2120fmpt2 7104 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
2219, 21sylib 207 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
233rrnval 32590 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
2423feq1d 5929 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ↔ (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ))
2522, 24mpbird 246 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ)
26 sqrt00 13801 . . . . . . . 8 ((Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2715, 17, 26syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
281, 14, 16fsum00 14320 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
2927, 28bitrd 267 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0))
3013recnd 9925 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ)
31 sqeq0 12747 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℂ → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0))
337recnd 9925 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
3412recnd 9925 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
3533, 34subeq0ad 10254 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3632, 35bitrd 267 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3736ralbidva 2968 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (∀𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
3829, 37bitrd 267 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
393rrnmval 32591 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑋𝑦𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
40393expb 1258 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
4140eqeq1d 2612 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = 0))
42 ffn 5944 . . . . . . 7 (𝑥:𝐼⟶ℝ → 𝑥 Fn 𝐼)
436, 42syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑥 Fn 𝐼)
44 ffn 5944 . . . . . . 7 (𝑦:𝐼⟶ℝ → 𝑦 Fn 𝐼)
4511, 44syl 17 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → 𝑦 Fn 𝐼)
46 eqfnfv 6204 . . . . . 6 ((𝑥 Fn 𝐼𝑦 Fn 𝐼) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4743, 45, 46syl2anc 691 . . . . 5 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑥𝑘) = (𝑦𝑘)))
4838, 41, 473bitr4d 299 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
49 simpll 786 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝐼 ∈ Fin)
507adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℝ)
51 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
5251, 3syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
53 elmapi 7743 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧:𝐼⟶ℝ)
5554ffvelrnda 6252 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℝ)
5650, 55resubcld 10310 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) ∈ ℝ)
5712adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℝ)
5855, 57resubcld 10310 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)) ∈ ℝ)
5949, 56, 58trirn 22936 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
6033adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝑘) ∈ ℂ)
6155recnd 9925 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
6234adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑦𝑘) ∈ ℂ)
6360, 61, 62npncand 10268 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))) = ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)))
6463oveq1d 6542 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6564sumeq2dv 14230 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))
6665fveq2d 6092 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 ((((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘)) + ((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘)))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
67 sqsubswap 12744 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑧𝑘) ∈ ℂ) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6860, 61, 67syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
6968sumeq2dv 14230 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2))
7069fveq2d 6092 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
7170oveq1d 6542 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑧𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7259, 66, 713brtr3d 4609 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) ≤ ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
7340adantr 480 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
743rrnmval 32591 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑥𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
75743adant3r 1315 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑥) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)))
763rrnmval 32591 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋𝑦𝑋) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
77763adant3l 1314 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (𝑧(ℝn𝐼)𝑦) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)))
7875, 77oveq12d 6545 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
79783expa 1257 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑋) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8079an32s 842 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)) = ((√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑥𝑘))↑2)) + (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑧𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
8172, 73, 803brtr4d 4610 . . . . 5 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8281ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))
8348, 82jca 553 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑋)) → (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
8483ralrimivva 2954 . 2 (𝐼 ∈ Fin → ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))
85 ovex 6555 . . . 4 (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∈ V
863, 85eqeltri 2684 . . 3 𝑋 ∈ V
87 ismet 21886 . . 3 (𝑋 ∈ V → ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦))))))
8886, 87ax-mp 5 . 2 ((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ↔ ((ℝn𝐼):(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (((𝑥(ℝn𝐼)𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑥(ℝn𝐼)𝑦) ≤ ((𝑧(ℝn𝐼)𝑥) + (𝑧(ℝn𝐼)𝑦)))))
8925, 84, 88sylanbrc 695 1 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4578   × cxp 5026   Fn wfn 5785  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  𝑚 cmap 7722  Fincfn 7819  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793   + caddc 9796  cle 9932  cmin 10118  2c2 10920  cexp 12680  csqrt 13770  Σcsu 14213  Metcme 19502  ncrrn 32588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-ico 12011  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-met 19510  df-rrn 32589
This theorem is referenced by:  rrncmslem  32595  rrncms  32596  rrnequiv  32598  rrntotbnd  32599  rrnheibor  32600  ismrer1  32601  reheibor  32602
  Copyright terms: Public domain W3C validator