Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnmval 33940
 Description: The value of the Euclidean metric. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rrnval.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
rrnmval ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑋   𝑘,𝐹

Proof of Theorem rrnmval
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnval.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
21rrnval 33939 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
323ad2ant1 1128 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝn𝐼) = (𝑥𝑋, 𝑦𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2))))
4 fveq1 6351 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐹 → (𝑥𝑘) = (𝐹𝑘))
5 fveq1 6351 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦𝑘) = (𝐺𝑘))
64, 5oveqan12d 6832 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → ((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
76oveq1d 6828 . . . . 5 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
87sumeq2sdv 14634 . . . 4 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2) = Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
98fveq2d 6356 . . 3 ((𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
109adantl 473 . 2 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑥 = 𝐹𝑦 = 𝐺)) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑥𝑘) − (𝑦𝑘))↑2)) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
11 simp2 1132 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
12 simp3 1133 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
13 fvexd 6364 . 2 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
143, 10, 11, 12, 13ovmpt2d 6953 1 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ↦ cmpt2 6815   ↑𝑚 cmap 8023  Fincfn 8121  ℝcr 10127   − cmin 10458  2c2 11262  ↑cexp 13054  √csqrt 14172  Σcsu 14615  ℝncrrn 33937 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-sum 14616  df-rrn 33938 This theorem is referenced by:  rrnmet  33941  rrndstprj1  33942  rrndstprj2  33943  rrncmslem  33944  ismrer1  33950
 Copyright terms: Public domain W3C validator