Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnprjdstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnprjdstle 39854
 Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnprjdstle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrnprjdstle.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
rrnprjdstle.i (𝜑𝐼𝑋)
rrnprjdstle.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
rrnprjdstle (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))

Proof of Theorem rrnprjdstle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnprjdstle.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
2 rrnprjdstle.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑋)
31, 2ffvelrnd 6321 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐼) ∈ ℝ)
4 rrnprjdstle.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℝ)
54, 2ffvelrnd 6321 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐼) ∈ ℝ)
6 eqid 2621 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
76remetdval 22515 . . . 4 (((𝐹𝐼) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝐼) ∈ ℝ) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
83, 5, 7syl2anc 692 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) = (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))))
98eqcomd 2627 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) = ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)))
10 rrnprjdstle.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
11 reex 9979 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1211a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ∈ V)
1312, 10elmapd 7823 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐹:𝑋⟶ℝ))
141, 13mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
15 eqid 2621 . . . . . 6 (ℝ^‘𝑋) = (ℝ^‘𝑋)
16 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (Base‘(ℝ^‘𝑋))
1710, 15, 16rrxbasefi 39836 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
1815, 16rrxbase 23099 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
1910, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝑋)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2017, 19eqtr3d 2657 . . . 4 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2114, 20eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
2212, 10elmapd 7823 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝐺:𝑋⟶ℝ))
234, 22mpbird 247 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
2423, 20eleqtrd 2700 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})
25 eqid 2621 . . . 4 { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0}
26 rrnprjdstle.d . . . 4 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝑋))
2725, 26, 6rrxdstprj1 23115 . . 3 (((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐼𝑋) ∧ (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0} ∧ 𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ finSupp 0})) → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
2810, 2, 21, 24, 27syl22anc 1324 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐼)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝐼)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
299, 28eqbrtrd 4640 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐼) − (𝐺𝐼))) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3189   class class class wbr 4618   × cxp 5077   ↾ cres 5081   ∘ ccom 5083  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  (class class class)co 6610   ↑𝑚 cmap 7809  Fincfn 7907   finSupp cfsupp 8227  ℝcr 9887  0cc0 9888   ≤ cle 10027   − cmin 10218  abscabs 13916  Basecbs 15792  distcds 15882  ℝ^crrx 23094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-tpos 7304  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-oi 8367  df-card 8717  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ico 12131  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-clim 14161  df-sum 14359  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-mhm 17267  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-sbg 17359  df-subg 17523  df-ghm 17590  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-abl 18128  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-oppr 18555  df-dvdsr 18573  df-unit 18574  df-invr 18604  df-dvr 18615  df-rnghom 18647  df-drng 18681  df-field 18682  df-subrg 18710  df-staf 18777  df-srng 18778  df-lmod 18797  df-lss 18865  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-xmet 19671  df-met 19672  df-cnfld 19679  df-refld 19883  df-dsmm 20008  df-frlm 20023  df-nm 22310  df-tng 22312  df-tch 22892  df-rrx 23096 This theorem is referenced by:  ioorrnopnlem  39857
 Copyright terms: Public domain W3C validator