Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxbasefi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxbasefi 39797
Description: The base of the generalized real Euclidean space, when the dimension of the space is finite. This justifies the use of (ℝ ↑𝑚 𝑋) for the development of the Lebeasgue measure theory for n-dimensional Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxbasefi.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
rrxbasefi.h 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
rrxbasefi.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxbasefi (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Proof of Theorem rrxbasefi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxbasefi.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 rrxbasefi.h . . . . 5 𝐻 = (ℝ^‘𝑋)
3 rrxbasefi.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐻)
42, 3rrxbase 23079 . . . 4 (𝑋 ∈ Fin → 𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐵 = {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
6 ssrab2 3671 . . . 4 {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
85, 7eqsstrd 3623 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10 elmapi 7824 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
1110adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓:𝑋⟶ℝ)
121adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑋 ∈ Fin)
13 c0ex 9979 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
1413a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 0 ∈ V)
1511, 12, 14fdmfifsupp 8230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 finSupp 0)
169, 15jca 554 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
17 rabid 3111 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} ↔ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∧ 𝑓 finSupp 0))
1816, 17sylibr 224 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓 ∈ {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0})
195eqcomd 2632 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2019adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → {𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) ∣ 𝑓 finSupp 0} = 𝐵)
2118, 20eleqtrd 2706 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑓𝐵)
2221ralrimiva 2965 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓𝐵)
23 dfss3 3578 . . 3 ((ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋)𝑓𝐵)
2422, 23sylibr 224 . 2 (𝜑 → (ℝ ↑𝑚 𝑋) ⊆ 𝐵)
258, 24eqssd 3605 1 (𝜑𝐵 = (ℝ ↑𝑚 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  Vcvv 3191  wss 3560   class class class wbr 4618  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  𝑚 cmap 7803  Fincfn 7900   finSupp cfsupp 8220  cr 9880  0cc0 9881  Basecbs 15776  ℝ^crrx 23074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-tpos 7298  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-0g 16018  df-prds 16024  df-pws 16026  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-grp 17341  df-minusg 17342  df-subg 17507  df-cmn 18111  df-mgp 18406  df-ur 18418  df-ring 18465  df-cring 18466  df-oppr 18539  df-dvdsr 18557  df-unit 18558  df-invr 18588  df-dvr 18599  df-drng 18665  df-field 18666  df-subrg 18694  df-sra 19086  df-rgmod 19087  df-cnfld 19661  df-refld 19865  df-dsmm 19990  df-frlm 20005  df-tng 22294  df-tch 22872  df-rrx 23076
This theorem is referenced by:  rrxdsfi  39799  rrxtopnfi  39800  rrxmetfi  39801  rrxtoponfi  39805  qndenserrnopnlem  39811  qndenserrn  39813  rrnprjdstle  39815
  Copyright terms: Public domain W3C validator