Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxip 23086
 Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxip (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
31, 2rrxprds 23085 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
43fveq2d 6152 . 2 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5 eqid 2621 . . . 4 (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6 eqid 2621 . . . 4 (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
75, 6tchip 22932 . . 3 (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
8 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝐻) ∈ V
92, 8eqeltri 2694 . . . . 5 𝐵 ∈ V
10 eqid 2621 . . . . . 6 ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
11 eqid 2621 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
1210, 11ressip 15954 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
139, 12ax-mp 5 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
14 eqid 2621 . . . . . 6 (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
15 refld 19884 . . . . . . 7 fld ∈ Field
1615a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
17 snex 4869 . . . . . . 7 {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
18 xpexg 6913 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
1917, 18mpan2 706 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
20 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
21 fvex 6158 . . . . . . . . 9 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
2221snnz 4279 . . . . . . . 8 {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
23 dmxp 5304 . . . . . . . 8 ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
2614, 16, 19, 20, 25, 11prdsip 16042 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))))))
2714, 16, 19, 20, 25prdsbas 16038 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
28 eqidd 2622 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
29 rebase 19871 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ = (Base‘ℝfld)
3029eqimssi 3638 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
3228, 31srabase 19097 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
3329a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
3421fvconst2 6423 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
3534fveq2d 6152 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
3632, 33, 353eqtr4rd 2666 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
3736adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
3837ixpeq2dva 7867 . . . . . . 7 (𝐼𝑉X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 ℝ)
39 reex 9971 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
40 ixpconstg 7861 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥𝐼 ℝ = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4139, 40mpan2 706 . . . . . . 7 (𝐼𝑉X𝑥𝐼 ℝ = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
4227, 38, 413eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
43 remulr 19876 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℝfld)
4434, 31sraip 19102 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
4543, 44syl5req 2668 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
4645oveqd 6621 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))
4746mpteq2ia 4700 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))
4847a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))
4948oveq2d 6620 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
5042, 42, 49mpt2eq123dv 6670 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
5126, 50eqtrd 2655 . . . 4 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
5213, 51syl5eqr 2669 . . 3 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
537, 52syl5eqr 2669 . 2 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
544, 53eqtr2d 2656 1 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {csn 4148   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  dom cdm 5074  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606   ↑𝑚 cmap 7802  Xcixp 7852  ℝcr 9879   · cmul 9885  Basecbs 15781   ↾s cress 15782  .rcmulr 15863  ·𝑖cip 15867   Σg cgsu 16022  Xscprds 16027  Fieldcfield 18669  subringAlg csra 19087  ℝfldcrefld 19869  toℂHilctch 22875  ℝ^crrx 23079 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-subg 17512  df-cmn 18116  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-drng 18670  df-field 18671  df-subrg 18699  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-refld 19870  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-tng 22299  df-tch 22877  df-rrx 23081 This theorem is referenced by:  rrxnm  23087
 Copyright terms: Public domain W3C validator