Theorem rrxip 23985

Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxip	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	rrxprds 23984	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
4	3	fveq2d 6667	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6		eqid 2819	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
7	5, 6	tcphip 23820	. . 3 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
8	2	fvexi 6677	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
10		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
11	9, 10	ressip 16644	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
13		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
14		refld 20755	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld ∈ Field)
16		snex 5322	. . . . . . 7 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
17		xpexg 7465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
18	16, 17	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
19		eqid 2819	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
20		fvex 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
21	20	snnz 4703	. . . . . . . 8 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
22		dmxp 5792	. . . . . . . 8 ⊢ ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
25	13, 15, 18, 19, 24, 10	prdsip 16726	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))))
26	13, 15, 18, 19, 24	prdsbas 16722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
27		eqidd 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
28		rebase 20742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
29	28	eqimssi 4023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
31	27, 30	srabase 19942	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
33	20	fvconst2 6959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
34	33	fveq2d 6667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
35	31, 32, 34	3eqtr4rd 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
36	35	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
37	36	ixpeq2dva 8468	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ)
38		reex 10620	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
39		ixpconstg 8462	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
40	38, 39	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
41	26, 37, 40	3eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑m 𝐼))
42		remulr 20747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
43	33, 30	sraip 19947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
44	42, 43	syl5req 2867	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
45	44	oveqd 7165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
46	45	mpteq2ia 5148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
48	47	oveq2d 7164	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
49	41, 41, 48	mpoeq123dv 7221	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
50	25, 49	eqtrd 2854	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
51	12, 50	syl5eqr 2868	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
52	7, 51	syl5eqr 2868	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
53	4, 52	eqtr2d 2855	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∅c0 4289  {csn 4559   ↦ cmpt 5137   × cxp 5546  dom cdm 5548  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150   ↑_m cmap 8398  Xcixp 8453  ℝcr 10528   · cmul 10534  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  ._rcmulr 16558  ·_𝑖cip 16562   Σ_g cgsu 16706  X_scprds 16711  Fieldcfield 19495  subringAlg csra 19932  ℝ_fldcrefld 20740  toℂPreHilctcph 23763  ℝ^crrx 23978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12885  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-cmn 18900  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-cring 19292  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-dvr 19425  df-drng 19496  df-field 19497  df-subrg 19525  df-sra 19936  df-rgmod 19937  df-cnfld 20538  df-refld 20741  df-dsmm 20868  df-frlm 20883  df-tng 23186  df-tcph 23765  df-rrx 23980

This theorem is referenced by:  rrxnm  23986