Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 23102
 Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 33279. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,,𝑘,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,,𝑘   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
2 fvex 6160 . . . . 5 (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpt2i 7187 . . . 4 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
4 eqid 2621 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
64, 5rrxds 23094 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
7 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
86, 7syl6reqr 2674 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
94, 5rrxbase 23089 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
10 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
119, 10syl6reqr 2674 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
1211sqxpeqd 5103 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼))))
138, 12fneq12d 5943 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))))
143, 13mpbiri 248 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnov 6724 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 208 . 2 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1710, 7rrxmval 23101 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓𝐷𝑔) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1817mpt2eq3dva 6675 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1916, 18eqtrd 2655 1 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   ∪ cun 3554   class class class wbr 4615   ↦ cmpt 4675   × cxp 5074   Fn wfn 5844  ‘cfv 5849  (class class class)co 6607   ↦ cmpt2 6609   supp csupp 7243   ↑𝑚 cmap 7805   finSupp cfsupp 8222  ℝcr 9882  0cc0 9883   − cmin 10213  2c2 11017  ↑cexp 12803  √csqrt 13910  Σcsu 14353  Basecbs 15784  distcds 15874   Σg cgsu 16025  ℝfldcrefld 19872  ℝ^crrx 23084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-sup 8295  df-oi 8362  df-card 8712  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-rp 11780  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-seq 12745  df-exp 12804  df-hash 13061  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-clim 14156  df-sum 14354  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-prds 16032  df-pws 16034  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-mhm 17259  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-cring 18474  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-dvr 18607  df-rnghom 18639  df-drng 18673  df-field 18674  df-subrg 18702  df-staf 18769  df-srng 18770  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-sra 19094  df-rgmod 19095  df-cnfld 19669  df-refld 19873  df-dsmm 19998  df-frlm 20013  df-nm 22300  df-tng 22302  df-tch 22882  df-rrx 23086 This theorem is referenced by:  rrxmet  23104
 Copyright terms: Public domain W3C validator