MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmval 23096
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 33259. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmval ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmval
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
2 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
31, 2rrxds 23089 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
4 rrxmval.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
53, 4syl6reqr 2674 . . . 4 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
61, 2rrxbase 23084 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
7 rrxmval.1 . . . . . 6 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
86, 7syl6reqr 2674 . . . . 5 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 mpt2eq12 6668 . . . . 5 ((𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
108, 8, 9syl2anc 692 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
115, 10eqtr4d 2658 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
12113ad2ant1 1080 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
13 simprl 793 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑓 = 𝐹)
1413fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑓𝑥) = (𝐹𝑥))
15 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → 𝑔 = 𝐺)
1615fveq1d 6150 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑔𝑥) = (𝐺𝑥))
1714, 16oveq12d 6622 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
1817oveq1d 6619 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
1918mpteq2dv 4705 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
2019oveq2d 6620 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))))
21 simp2 1060 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹𝑋)
227, 21rrxf 23092 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
2322ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
24 simp3 1061 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺𝑋)
257, 24rrxf 23092 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝐺𝑥) ∈ ℝ)
2723, 26resubcld 10402 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
2827resqcld 12975 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ ℝ)
29 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
3028, 29fmptd 6340 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
317, 21rrxfsupp 23093 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
327, 24rrxfsupp 23093 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ∈ Fin)
33 unfi 8171 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 supp 0) ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 0) ∈ Fin) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin)
357rrxmvallem 23095 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
36 ssfi 8124 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin)
3734, 35, 36syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin)
38 mptexg 6438 . . . . . . . . . 10 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V)
39 funmpt 5884 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
40 0cn 9976 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
41 funisfsupp 8224 . . . . . . . . . . 11 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4239, 40, 41mp3an13 1412 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4338, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐼𝑉 → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
44433ad2ant1 1080 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ∈ Fin))
4537, 44mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0)
46 simp1 1059 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
47 regsumsupp 19887 . . . . . . 7 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
4830, 45, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
49 suppssdm 7253 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
5029dmmptss 5590 . . . . . . . . . . 11 dom (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) ⊆ 𝐼
5149, 50sstri 3592 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼
5251a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ 𝐼)
5352sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → 𝑘𝐼)
54 eqidd 2622 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)))
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → 𝑥 = 𝑘)
5655fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
5755fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑘))
5856, 57oveq12d 6622 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)))
5958oveq1d 6619 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
60 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
61 ovex 6632 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V)
6354, 59, 60, 62fvmptd 6245 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6463eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6553, 64syldan 487 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6665sumeq2dv 14367 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
6748, 66eqtr4d 2658 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6867adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
6922ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7069recnd 10012 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
7125ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
7271recnd 10012 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
7370, 72subcld 10336 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
7473sqcld 12946 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
7553, 74syldan 487 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ ℂ)
767, 21rrxsuppss 23094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
777, 24rrxsuppss 23094 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) ⊆ 𝐼)
7876, 77unssd 3767 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ⊆ 𝐼)
7978ssdifssd 3726 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ 𝐼)
8079sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘𝐼)
8180, 64syldan 487 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘))
8278ssdifd 3724 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)) ⊆ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
8382sselda 3583 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)))
84 ssid 3603 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)
8584a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))
86 0cnd 9977 . . . . . . . . 9 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
8730, 85, 46, 86suppssr 7271 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8883, 87syldan 487 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))‘𝑘) = 0)
8981, 88eqtrd 2655 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑘 ∈ (((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) ∖ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0))) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = 0)
9035, 75, 89, 34fsumss 14389 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
9190adantr 481 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2)) supp 0)(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
9220, 68, 913eqtrd 2659 . . 3 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
9392fveq2d 6152 . 2 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (𝑓 = 𝐹𝑔 = 𝐺)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
94 fvex 6158 . . 3 (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V
9594a1i 11 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) ∈ V)
9612, 93, 21, 24, 95ovmpt2d 6741 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0))(((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  {crab 2911  Vcvv 3186  cdif 3552  cun 3553  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  Fun wfun 5841  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606   supp csupp 7240  𝑚 cmap 7802  Fincfn 7899   finSupp cfsupp 8219  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  cmin 10210  2c2 11014  cexp 12800  csqrt 13907  Σcsu 14350  Basecbs 15781  distcds 15871   Σg cgsu 16022  fldcrefld 19869  ℝ^crrx 23079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-oppr 18544  df-dvdsr 18562  df-unit 18563  df-invr 18593  df-dvr 18604  df-rnghom 18636  df-drng 18670  df-field 18671  df-subrg 18699  df-staf 18766  df-srng 18767  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-refld 19870  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-nm 22297  df-tng 22299  df-tch 22877  df-rrx 23081
This theorem is referenced by:  rrxmfval  23097  rrxmet  23099  rrxdstprj1  23100
  Copyright terms: Public domain W3C validator