MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmvallem 23358
Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
Assertion
Ref Expression
rrxmvallem ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋()

Proof of Theorem rrxmvallem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 811 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = 0)
2 0cn 10195 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
31, 2syl6eqel 2835 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4 simprr 813 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐺𝑥) = 0)
51, 4eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
63, 5subeq0bd 10619 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0)
76sq0id 13122 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0)
87ex 449 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
9 ioran 512 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0))
10 nne 2924 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0)
11 nne 2924 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐺𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑥) = 0)
1210, 11anbi12i 735 . . . . . . . 8 ((¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
139, 12bitri 264 . . . . . . 7 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
15 eqidd 2749 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
16 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1716fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
1816fveq2d 6344 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑥))
1917, 18oveq12d 6819 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
2019oveq1d 6816 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
21 simpr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
22 ovex 6829 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V)
2415, 20, 21, 23fvmptd 6438 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
2524neeq1d 2979 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0))
2625bicomd 213 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2726necon1bbid 2959 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
288, 14, 273imtr4d 283 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2928con4d 114 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
3029ss2rabdv 3812 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)})
31 unrab 4029 . . 3 ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)}
3230, 31syl6sseqr 3781 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
33 simp1 1128 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
34 ovex 6829 . . . . 5 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V
35 eqid 2748 . . . . 5 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3634, 35fnmpti 6171 . . . 4 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37 suppvalfn 7458 . . . 4 (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3836, 2, 37mp3an13 1552 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3933, 38syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40 elrabi 3487 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
41 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
4240, 41eleq2s 2845 . . . . . 6 (𝐹𝑋𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
43 elmapi 8033 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44 ffn 6194 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
4542, 43, 443syl 18 . . . . 5 (𝐹𝑋𝐹 Fn 𝐼)
46453ad2ant2 1126 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
472a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48 suppvalfn 7458 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
4946, 33, 47, 48syl3anc 1463 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
50 elrabi 3487 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5150, 41eleq2s 2845 . . . . . 6 (𝐺𝑋𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
52 elmapi 8033 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53 ffn 6194 . . . . . 6 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
5451, 52, 533syl 18 . . . . 5 (𝐺𝑋𝐺 Fn 𝐼)
55543ad2ant3 1127 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56 suppvalfn 7458 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5755, 33, 47, 56syl3anc 1463 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5849, 57uneq12d 3899 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
5932, 39, 583sstr4d 3777 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920  {crab 3042  Vcvv 3328  cun 3701  wss 3703   class class class wbr 4792  cmpt 4869   Fn wfn 6032  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801   supp csupp 7451  𝑚 cmap 8011   finSupp cfsupp 8428  cc 10097  cr 10098  0cc0 10099  cmin 10429  2c2 11233  cexp 13025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7899  df-map 8013  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-seq 12967  df-exp 13026
This theorem is referenced by:  rrxmval  23359
  Copyright terms: Public domain W3C validator