MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmvallem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmvallem 23090
Description: Support of the function used for building the distance . (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
Assertion
Ref Expression
rrxmvallem ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑘   ,𝐺,𝑘   ,𝐼,𝑘   ,𝑉,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑋()

Proof of Theorem rrxmvallem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = 0)
2 0cn 9977 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℂ
31, 2syl6eqel 2712 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐺𝑥) = 0)
51, 4eqtr4d 2663 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
63, 5subeq0bd 10401 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = 0)
76sq0id 12894 . . . . . . 7 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0)
87ex 450 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
9 ioran 511 . . . . . . . 8 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0))
10 nne 2800 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐹𝑥) = 0)
11 nne 2800 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐺𝑥) ≠ 0 ↔ (𝐺𝑥) = 0)
1210, 11anbi12i 732 . . . . . . . 8 ((¬ (𝐹𝑥) ≠ 0 ∧ ¬ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
139, 12bitri 264 . . . . . . 7 (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0))
1413a1i 11 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) ↔ ((𝐹𝑥) = 0 ∧ (𝐺𝑥) = 0)))
15 eqidd 2627 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)))
16 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → 𝑘 = 𝑥)
1716fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑥))
1816fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑥))
1917, 18oveq12d 6623 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → ((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
2019oveq1d 6620 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘 = 𝑥) → (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
21 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
22 ovex 6633 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ∈ V)
2415, 20, 21, 23fvmptd 6246 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) = (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2))
2524neeq1d 2855 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0))
2625bicomd 213 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → ((((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) ≠ 0 ↔ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2726necon1bbid 2835 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 ↔ (((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))↑2) = 0))
288, 14, 273imtr4d 283 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (¬ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0) → ¬ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0))
2928con4d 114 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0 → ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)))
3029ss2rabdv 3667 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)})
31 unrab 3879 . . 3 ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝐹𝑥) ≠ 0 ∨ (𝐺𝑥) ≠ 0)}
3230, 31syl6sseqr 3636 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0} ⊆ ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
33 simp1 1059 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐼𝑉)
34 ovex 6633 . . . . 5 (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2) ∈ V
35 eqid 2626 . . . . 5 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) = (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))
3634, 35fnmpti 5981 . . . 4 (𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼
37 suppvalfn 7248 . . . 4 (((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3836, 2, 37mp3an13 1412 . . 3 (𝐼𝑉 → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
3933, 38syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2))‘𝑥) ≠ 0})
40 elrabi 3347 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
41 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
4240, 41eleq2s 2722 . . . . . 6 (𝐹𝑋𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
43 elmapi 7824 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
44 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
4542, 43, 443syl 18 . . . . 5 (𝐹𝑋𝐹 Fn 𝐼)
46453ad2ant2 1081 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐹 Fn 𝐼)
472a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ∈ ℂ)
48 suppvalfn 7248 . . . 4 ((𝐹 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
4946, 33, 47, 48syl3anc 1323 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0})
50 elrabi 3347 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0} → 𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
5150, 41eleq2s 2722 . . . . . 6 (𝐺𝑋𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
52 elmapi 7824 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
53 ffn 6004 . . . . . 6 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
5451, 52, 533syl 18 . . . . 5 (𝐺𝑋𝐺 Fn 𝐼)
55543ad2ant3 1082 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → 𝐺 Fn 𝐼)
56 suppvalfn 7248 . . . 4 ((𝐺 Fn 𝐼𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5755, 33, 47, 56syl3anc 1323 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐺 supp 0) = {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0})
5849, 57uneq12d 3751 . 2 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)) = ({𝑥𝐼 ∣ (𝐹𝑥) ≠ 0} ∪ {𝑥𝐼 ∣ (𝐺𝑥) ≠ 0}))
5932, 39, 583sstr4d 3632 1 ((𝐼𝑉𝐹𝑋𝐺𝑋) → ((𝑘𝐼 ↦ (((𝐹𝑘) − (𝐺𝑘))↑2)) supp 0) ⊆ ((𝐹 supp 0) ∪ (𝐺 supp 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  {crab 2916  Vcvv 3191  cun 3558  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678   Fn wfn 5845  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605   supp csupp 7241  𝑚 cmap 7803   finSupp cfsupp 8220  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  cmin 10211  2c2 11015  cexp 12797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-map 7805  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739  df-exp 12798
This theorem is referenced by:  rrxmval  23091
  Copyright terms: Public domain W3C validator