Theorem rrxprds 23994

Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxprds	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Proof of Theorem rrxprds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	rrxval 23992	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3		refld 20765	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
4		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6	4, 5	frlmpws 20896	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
7	3, 6	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8		fvex 6685	. . . . . . 7 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
9		rlmval 19965	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
10		rebase 20752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
11	10	fveq2i 6675	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
12	9, 11	eqtr4i 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)
13	12	oveq1i 7168	. . . . . . . 8 ⊢ ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ↑s 𝐼)
14	10	ressid 16561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field → (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld
16		eqidd 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
17	10	eqimssi 4027	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
19	16, 18	srasca 19955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
20	19	mptru 1544	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
21	15, 20	eqtr3i 2848	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
22	13, 21	pwsval 16761	. . . . . . 7 ⊢ ((((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
23	8, 22	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
24	23	eqcomd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼))
25	2	fveq2d 6676	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26		rrxbase.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
27		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
28	27, 5	tcphbas 23824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
29	25, 26, 28	3eqtr4g 2883	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
30	24, 29	oveq12d 7176	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
31	7, 30	eqtr4d 2861	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
32	31	fveq2d 6676	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
33	2, 32	eqtrd 2858	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  {csn 4569   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  Basecbs 16485   ↾_s cress 16486  Scalarcsca 16570  X_scprds 16721   ↑_s cpws 16722  Fieldcfield 19505  subringAlg csra 19942  ringLModcrglmod 19943  ℝ_fldcrefld 20750   freeLMod cfrlm 20892  toℂPreHilctcph 23773  ℝ^crrx 23988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-cmn 18910  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-cring 19302  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-field 19507  df-subrg 19535  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-cnfld 20548  df-refld 20751  df-dsmm 20878  df-frlm 20893  df-tng 23196  df-tcph 23775  df-rrx 23990

This theorem is referenced by:  rrxip  23995  rrxsca  24001