Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxprds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxprds 23223
 Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxprds (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Proof of Theorem rrxprds
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23221 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 refld 20013 . . . . 5 fld ∈ Field
4 eqid 2651 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5 eqid 2651 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
64, 5frlmpws 20142 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
73, 6mpan 706 . . . 4 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 fvex 6239 . . . . . . 7 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
9 rlmval 19239 . . . . . . . . . 10 (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
10 rebase 20000 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
1110fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
129, 11eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)
1312oveq1i 6700 . . . . . . . 8 ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ↑s 𝐼)
1410ressid 15982 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field → (ℝflds ℝ) = ℝfld)
153, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝflds ℝ) = ℝfld
16 eqidd 2652 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
1710eqimssi 3692 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
1916, 18srasca 19229 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
2019trud 1533 . . . . . . . . 9 (ℝflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
2115, 20eqtr3i 2675 . . . . . . . 8 fld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
2213, 21pwsval 16193 . . . . . . 7 ((((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
238, 22mpan 706 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
2423eqcomd 2657 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼))
252fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26 rrxbase.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐻)
27 eqid 2651 . . . . . . 7 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
2827, 5tchbas 23064 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2925, 26, 283eqtr4g 2710 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3024, 29oveq12d 6708 . . . 4 (𝐼𝑉 → ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
317, 30eqtr4d 2688 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
3231fveq2d 6233 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
332, 32eqtrd 2685 1 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {csn 4210   × cxp 5141  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  Basecbs 15904   ↾s cress 15905  Scalarcsca 15991  Xscprds 16153   ↑s cpws 16154  Fieldcfield 18796  subringAlg csra 19216  ringLModcrglmod 19217  ℝfldcrefld 19998   freeLMod cfrlm 20138  toℂHilctch 23013  ℝ^crrx 23217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-tng 22436  df-tch 23015  df-rrx 23219 This theorem is referenced by:  rrxip  23224
 Copyright terms: Public domain W3C validator