Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopn 39084
 Description: The topology of the generalized real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopn.1 (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
rrxtopn (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxtopn
StepHypRef Expression
1 rrxtopn.1 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 eqid 2514 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
32rrxval 22846 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
54fveq2d 5991 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
6 ovex 6454 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V
7 eqid 2514 . . . . . 6 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
8 eqid 2514 . . . . . 6 (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
9 eqid 2514 . . . . . 6 (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107, 8, 9tchtopn 22700 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V → (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
116, 10ax-mp 5 . . . 4 (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
134eqcomd 2520 . . . . 5 (𝜑 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℝ^‘𝐼))
1413fveq2d 5991 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
1514fveq2d 5991 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
165, 12, 153eqtrd 2552 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
17 eqid 2514 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
182, 17rrxds 22852 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
2019eqcomd 2520 . . 3 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
2120fveq2d 5991 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
2216, 21eqtrd 2548 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1938  Vcvv 3077   ↦ cmpt 4541  ‘cfv 5689  (class class class)co 6426   ↦ cmpt2 6428   − cmin 10017  2c2 10825  ↑cexp 12590  √csqrt 13680  Basecbs 15579  distcds 15661  TopOpenctopn 15789   Σg cgsu 15808  MetOpencmopn 19461  ℝfldcrefld 19675   freeLMod cfrlm 19812  toℂHilctch 22645  ℝ^crrx 22842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771 This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-tpos 7114  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-fz 12066  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-topgen 15811  df-prds 15815  df-pws 15817  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-mhm 17050  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-subg 17306  df-ghm 17373  df-cmn 17926  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-cring 18280  df-oppr 18353  df-dvdsr 18371  df-unit 18372  df-invr 18402  df-dvr 18413  df-rnghom 18445  df-drng 18479  df-field 18480  df-subrg 18508  df-staf 18575  df-srng 18576  df-lmod 18595  df-lss 18658  df-sra 18897  df-rgmod 18898  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-cnfld 19472  df-refld 19676  df-dsmm 19798  df-frlm 19813  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-nm 22099  df-tng 22101  df-tch 22647  df-rrx 22844 This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  39089
 Copyright terms: Public domain W3C validator