Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopn 39084
Description: The topology of the generalized real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopn.1 (𝜑𝐼𝑉)
Assertion
Ref Expression
rrxtopn (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxtopn
StepHypRef Expression
1 rrxtopn.1 . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
2 eqid 2514 . . . . . 6 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
32rrxval 22846 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (ℝ^‘𝐼) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
54fveq2d 5991 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
6 ovex 6454 . . . . 5 (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V
7 eqid 2514 . . . . . 6 (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
8 eqid 2514 . . . . . 6 (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
9 eqid 2514 . . . . . 6 (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107, 8, 9tchtopn 22700 . . . . 5 ((ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ V → (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
116, 10ax-mp 5 . . . 4 (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (TopOpen‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))))
134eqcomd 2520 . . . . 5 (𝜑 → (toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℝ^‘𝐼))
1413fveq2d 5991 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
1514fveq2d 5991 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(toℂHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
165, 12, 153eqtrd 2552 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))))
17 eqid 2514 . . . . . 6 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
182, 17rrxds 22852 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
2019eqcomd 2520 . . 3 (𝜑 → (dist‘(ℝ^‘𝐼)) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
2120fveq2d 5991 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(dist‘(ℝ^‘𝐼))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
2216, 21eqtrd 2548 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  cmpt 4541  cfv 5689  (class class class)co 6426  cmpt2 6428  cmin 10017  2c2 10825  cexp 12590  csqrt 13680  Basecbs 15579  distcds 15661  TopOpenctopn 15789   Σg cgsu 15808  MetOpencmopn 19461  fldcrefld 19675   freeLMod cfrlm 19812  toℂHilctch 22645  ℝ^crrx 22842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-tpos 7114  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-sup 8107  df-inf 8108  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-fz 12066  df-seq 12532  df-exp 12591  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-topgen 15811  df-prds 15815  df-pws 15817  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-mhm 17050  df-grp 17140  df-minusg 17141  df-sbg 17142  df-subg 17306  df-ghm 17373  df-cmn 17926  df-mgp 18220  df-ur 18232  df-ring 18279  df-cring 18280  df-oppr 18353  df-dvdsr 18371  df-unit 18372  df-invr 18402  df-dvr 18413  df-rnghom 18445  df-drng 18479  df-field 18480  df-subrg 18508  df-staf 18575  df-srng 18576  df-lmod 18595  df-lss 18658  df-sra 18897  df-rgmod 18898  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-cnfld 19472  df-refld 19676  df-dsmm 19798  df-frlm 19813  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-nm 22099  df-tng 22101  df-tch 22647  df-rrx 22844
This theorem is referenced by:  rrxtopnfi  39089
  Copyright terms: Public domain W3C validator