Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrxtopnfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxtopnfi 38982
Description: The topology of the n-dimensional real Euclidean space. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
rrxtopnfi.1 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrxtopnfi (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼,𝑔,𝑘   𝜑,𝑓,𝑔,𝑘

Proof of Theorem rrxtopnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxtopnfi.1 . . 3 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
21rrxtopn 38977 . 2 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))))
3 eqid 2605 . . . . 5 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
4 eqid 2605 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
51, 3, 4rrxbasefi 38979 . . . 4 (𝜑 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
65adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
7 simpl 471 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝜑)
8 simprl 789 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
9 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
109, 6eleqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
118, 10syldan 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
12 simprr 791 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
13 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
145adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1513, 14eleqtrd 2685 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
1612, 15syldan 485 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
17 elmapi 7738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1817adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1918ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
20 elmapi 7738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2120adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℝ)
2221ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℝ)
2319, 22resubcld 10305 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℝ)
2423resqcld 12848 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℝ)
25 eqid 2605 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))
2624, 25fmptd 6273 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
27263adant1 1071 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ)
2813ad2ant1 1074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
29 0red 9893 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 0 ∈ ℝ)
3027, 28, 29fidmfisupp 38184 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0)
31 regsumsupp 19728 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
3227, 30, 28, 31syl3anc 1317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
33 ax-resscn 9845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3517, 34fssd 5952 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
36353ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑓:𝐼⟶ℂ)
3736ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
3833a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → ℝ ⊆ ℂ)
3920, 38fssd 5952 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
40393ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → 𝑔:𝐼⟶ℂ)
4140ffvelrnda 6248 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑔𝑥) ∈ ℂ)
4237, 41subcld 10239 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) ∈ ℂ)
4342sqcld 12819 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) ∈ ℂ)
4443, 25fmptd 6273 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)):𝐼⟶ℂ)
4528, 44fsumsupp0 38445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → Σ𝑘 ∈ ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) supp 0)((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘))
46 eqidd 2606 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)) = (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))
47 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑘))
48 fveq2 6084 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑘 → (𝑔𝑥) = (𝑔𝑘))
4947, 48oveq12d 6541 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)))
5049oveq1d 6538 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑘 → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5150adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥 = 𝑘) → (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
52 simpr 475 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
53 ovex 6551 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ V
5453a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) ∈ V)
5546, 51, 52, 54fvmptd 6178 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5655sumeq2dv 14223 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → Σ𝑘𝐼 ((𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))‘𝑘) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5732, 45, 563eqtrd 2643 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))) = Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))
5857fveq2d 6088 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∧ 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼)) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
597, 11, 16, 58syl3anc 1317 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ∧ 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)))) → (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) = (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
605, 6, 59mpt2eq123dva 6588 . . 3 (𝜑 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
6160fveq2d 6088 . 2 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
622, 61eqtrd 2639 1 (𝜑 → (TopOpen‘(ℝ^‘𝐼)) = (MetOpen‘(𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↦ (√‘Σ𝑘𝐼 (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975  Vcvv 3168  wss 3535   class class class wbr 4573  cmpt 4633  wf 5782  cfv 5786  (class class class)co 6523  cmpt2 6525   supp csupp 7155  𝑚 cmap 7717  Fincfn 7814   finSupp cfsupp 8131  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  cmin 10113  2c2 10913  cexp 12673  csqrt 13763  Σcsu 14206  Basecbs 15637  TopOpenctopn 15847   Σg cgsu 15866  MetOpencmopn 19499  fldcrefld 19710  ℝ^crrx 22892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-tpos 7212  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-oadd 7424  df-er 7602  df-map 7719  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-seq 12615  df-exp 12674  df-hash 12931  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-clim 14009  df-sum 14207  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-prds 15873  df-pws 15875  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-mhm 17100  df-grp 17190  df-minusg 17191  df-sbg 17192  df-subg 17356  df-ghm 17423  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-abl 17961  df-mgp 18255  df-ur 18267  df-ring 18314  df-cring 18315  df-oppr 18388  df-dvdsr 18406  df-unit 18407  df-invr 18437  df-dvr 18448  df-rnghom 18480  df-drng 18514  df-field 18515  df-subrg 18543  df-staf 18610  df-srng 18611  df-lmod 18630  df-lss 18696  df-sra 18935  df-rgmod 18936  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-cnfld 19510  df-refld 19711  df-dsmm 19833  df-frlm 19848  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-nm 22134  df-tng 22136  df-tch 22697  df-rrx 22894
This theorem is referenced by:  qndenserrnopnlem  38993  ioorrnopnlem  39000
  Copyright terms: Public domain W3C validator