MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rspval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rspval 19894
Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
rspval (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))

Proof of Theorem rspval
StepHypRef Expression
1 df-rsp 19876 . . 3 RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
21fveq1i 6664 . 2 (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3 00lsp 19682 . . 3 ∅ = (LSpan‘∅)
4 rlmfn 19891 . . . 4 ringLMod Fn V
5 fnfun 6446 . . . 4 (ringLMod Fn V → Fun ringLMod)
64, 5ax-mp 5 . . 3 Fun ringLMod
73, 6fvco4i 6755 . 2 ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
82, 7eqtri 2841 1 (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  Vcvv 3492  ccom 5552  Fun wfun 6342   Fn wfn 6343  cfv 6348  LSpanclspn 19672  ringLModcrglmod 19870  RSpancrsp 19872
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-slot 16475  df-base 16477  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-rgmod 19874  df-rsp 19876
This theorem is referenced by:  rspcl  19923  rspssid  19924  rsp0  19926  rspssp  19927  mrcrsp  19928  lidlrsppropd  19931  rspsn  19955  rspsnel  30863  rgmoddim  30907  islnr2  39592
  Copyright terms: Public domain W3C validator