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Theorem rtrclreclem3 13734
 Description: The reflexive, transitive closure is indeed transitive. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rtrclreclem.rel (𝜑 → Rel 𝑅)
rtrclreclem.rex (𝜑𝑅 ∈ V)
Assertion
Ref Expression
rtrclreclem3 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))

Proof of Theorem rtrclreclem3
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 𝑛 𝑚 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-co 5083 . . 3 ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}
2 elopab 4943 . . . . 5 (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} ↔ ∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)))
3 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩))
43anbi1d 740 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) ↔ (⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑))))
5 simprr 795 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝜑)
6 simprl 793 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔))
7 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓)
8 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → 𝜑)
9 rtrclreclem.rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Rel 𝑅)
10 rtrclreclem.rex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑅 ∈ V)
119, 10dfrtrclrec2 13731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
137, 12mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
14 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)
15 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → 𝜑)
169, 10dfrtrclrec2 13731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
1814, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
19 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2120adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
22 simprr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2322adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2524adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2721, 26nn0addcld 11299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0)
2821adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℂ)
3026adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3130nn0cnd 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℂ)
3229, 31addcomd 10182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛))
33 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → ((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ↔ (𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0))
3433anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) ↔ ((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))))))
3526adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3621adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
37 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝜑)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝜑)
3938, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → Rel 𝑅)
4038, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑅 ∈ V)
4139, 40relexpaddd 13728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛))))
4235, 36, 41mp2and 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
43 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛)))
4443eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) ↔ ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑚 + 𝑛))))
4542, 44syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑚 + 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4634, 45sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑛 + 𝑚) = (𝑚 + 𝑛) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))))
4732, 46mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
4847eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)))
49 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓)
52 simprrl 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
5655adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)
57 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 𝑓 ∈ V
58 breq2 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ( = 𝑓 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓))
59 breq1 4616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ( = 𝑓 → ((𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6058, 59anbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ( = 𝑓 → ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔) ↔ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔)))
6157, 60spcev 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6251, 56, 61syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
63 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑒 ∈ V
64 vex 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑔 ∈ V
6563, 64brco 5252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔 ↔ ∃(𝑒(𝑅𝑟𝑛)(𝑅𝑟𝑚)𝑔))
6662, 65sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔)
67 breq 4615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) → (𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔𝑒((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛))𝑔))
6866, 67syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)) = ((𝑅𝑟𝑚) ∘ (𝑅𝑟𝑛)) → (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
6948, 68mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → 𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔)
70 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑅𝑟𝑖) = (𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚)))
7170breqd 4624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝑖 = (𝑛 + 𝑚) → (𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔))
7271rspcev 3295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0𝑒(𝑅𝑟(𝑛 + 𝑚))𝑔) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
7369, 72syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑛 + 𝑚) ∈ ℕ0 ∧ (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
7427, 73mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔)
75 df-br 4614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
7637, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → Rel 𝑅)
7737, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → 𝑅 ∈ V)
7876, 77dfrtrclrec2 13731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑔 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
7975, 78syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → (⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑖)𝑔))
8074, 79mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
8180expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8281expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8382expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
8483anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝜑 → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))))
8584impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝜑 ∧ ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8685anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
8786impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ ((𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8887anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
8988impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9089anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) ∧ (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9190expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9291expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
9392rexlimiv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (∃𝑚 ∈ ℕ0 𝑓(𝑅𝑟𝑚)𝑔 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9418, 93mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9594expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔 ∧ (𝜑 ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9695anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → (𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
9796impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ ((𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0))) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9897anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) ∧ (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
9998expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
10099expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))))
101100rexlimiv 3020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑒(𝑅𝑟𝑛)𝑓 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
10213, 101mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓 ∧ (𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
103102anassrs 679 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
104103expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
105104exlimdv 1858 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
1065, 6, 105sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅))
107 eleq1 2686 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → (𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅) ↔ ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∈ (t*rec‘𝑅)))
108106, 107syl5ibr 236 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((⟨𝑒, 𝑔⟩ = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1094, 108sylbid 230 . . . . . . . . 9 (𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
110109anabsi5 857 . . . . . . . 8 ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ (∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔) ∧ 𝜑)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
111110anassrs 679 . . . . . . 7 (((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) ∧ 𝜑) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))
112111expcom 451 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
113112exlimdvv 1859 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑒𝑔(𝑑 = ⟨𝑒, 𝑔⟩ ∧ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
1142, 113syl5bi 232 . . . 4 (𝜑 → (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
115 eleq2 2687 . . . . 5 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ↔ 𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)}))
116115imbi1d 331 . . . 4 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → ((𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)) ↔ (𝑑 ∈ {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
117114, 116syl5ibr 236 . . 3 (((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) = {⟨𝑒, 𝑔⟩ ∣ ∃𝑓(𝑒(t*rec‘𝑅)𝑓𝑓(t*rec‘𝑅)𝑔)} → (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅))))
1181, 117ax-mp 5 . 2 (𝜑 → (𝑑 ∈ ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) → 𝑑 ∈ (t*rec‘𝑅)))
119118ssrdv 3589 1 (𝜑 → ((t*rec‘𝑅) ∘ (t*rec‘𝑅)) ⊆ (t*rec‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1480  ∃wex 1701   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2908  Vcvv 3186   ⊆ wss 3555  ⟨cop 4154   class class class wbr 4613  {copab 4672   ∘ ccom 5078  Rel wrel 5079  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   + caddc 9883  ℕ0cn0 11236  ↑𝑟crelexp 13694  t*reccrtrcl 13729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-relexp 13695  df-rtrclrec 13730 This theorem is referenced by:  dfrtrcl2  13736
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