MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem4 15577
Description: Lemma for ruc 15586. Initial value of the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem4 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem4
StepHypRef Expression
1 ruc.5 . . 3 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
21fveq1i 6665 . 2 (𝐺‘0) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘0)
3 0z 11981 . . 3 0 ∈ ℤ
4 ruc.4 . . . . . 6 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
5 dfn2 11899 . . . . . . . . 9 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
65reseq2i 5844 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ ℕ) = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))
7 ruc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
8 ffn 6508 . . . . . . . . 9 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
9 fnresdm 6460 . . . . . . . . 9 (𝐹 Fn ℕ → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
107, 8, 93syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ↾ ℕ) = 𝐹)
116, 10syl5reqr 2871 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 = (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
1211uneq2d 4138 . . . . . 6 (𝜑 → ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
134, 12syl5eq 2868 . . . . 5 (𝜑𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))))
1413fveq1d 6666 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘0) = (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0))
15 c0ex 10624 . . . . . . 7 0 ∈ V
1615a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 0 ∈ V)
17 opex 5348 . . . . . . 7 ⟨0, 1⟩ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → ⟨0, 1⟩ ∈ V)
19 eqid 2821 . . . . . 6 ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0}))) = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))
2016, 18, 19fvsnun1 6937 . . . . 5 (⊤ → (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩)
2120mptru 1535 . . . 4 (({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ (𝐹 ↾ (ℕ0 ∖ {0})))‘0) = ⟨0, 1⟩
2214, 21syl6eq 2872 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘0) = ⟨0, 1⟩)
233, 22seq1i 13373 . 2 (𝜑 → (seq0(𝐷, 𝐶)‘0) = ⟨0, 1⟩)
242, 23syl5eq 2868 1 (𝜑 → (𝐺‘0) = ⟨0, 1⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  Vcvv 3495  csb 3882  cdif 3932  cun 3933  ifcif 4465  {csn 4559  cop 4565   class class class wbr 5058   × cxp 5547  cres 5551   Fn wfn 6344  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  cmpo 7147  1st c1st 7678  2nd c2nd 7679  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  0cn0 11886  seqcseq 13359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-seq 13360
This theorem is referenced by:  ruclem6  15578  ruclem8  15580  ruclem11  15583
  Copyright terms: Public domain W3C validator