Theorem ruclem7 15009

Description: Lemma for ruc 15016. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ruc.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋(((1st ‘𝑥) + (2nd ‘𝑥)) / 2) / 𝑚⦌if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st ‘𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd ‘𝑥)) / 2), (2nd ‘𝑥)⟩)))
ruc.4	⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5	⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ruclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0uz 11760	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	syl6eleq 2740	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
4		seqp1 12856	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6		ruc.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
7	6	fveq1i 6230	. . 3 ⊢ (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
8	6	fveq1i 6230	. . . 4 ⊢ (𝐺‘𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
9	8	oveq1i 6700	. . 3 ⊢ ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
10	5, 7, 9	3eqtr4g 2710	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11		nn0p1nn 11370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	11	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13	12	nnne0d 11103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
14	13	necomd 2878	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15		ruc.4	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
16	15	equncomi 3792	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
17	16	fveq1i 6230	. . . . 5 ⊢ (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18		fvunsn 6486	. . . . 5 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
19	17, 18	syl5eq 2697	. . . 4 ⊢ (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
20	14, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
21	20	oveq2d 6706	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
22	10, 21	eqtrd 2685	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺‘𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ⦋csb 3566   ∪ cun 3605  ifcif 4119  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685   × cxp 5141  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  1^st c1st 7208  2^nd c2nd 7209  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ₀cn0 11330  ℤ_≥cuz 11725  seqcseq 12841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842

This theorem is referenced by:  ruclem8  15010  ruclem9  15011  ruclem12  15014