MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ruclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ruclem7 14885
Description: Lemma for ruc 14892. Successor value for the interval sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ruc.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℝ)
ruc.2 (𝜑𝐷 = (𝑥 ∈ (ℝ × ℝ), 𝑦 ∈ ℝ ↦ (((1st𝑥) + (2nd𝑥)) / 2) / 𝑚if(𝑚 < 𝑦, ⟨(1st𝑥), 𝑚⟩, ⟨((𝑚 + (2nd𝑥)) / 2), (2nd𝑥)⟩)))
ruc.4 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
ruc.5 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
Assertion
Ref Expression
ruclem7 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑚,𝐺,𝑥,𝑦   𝑚,𝑁,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑚)   𝐷(𝑥,𝑦,𝑚)

Proof of Theorem ruclem7
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11666 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2714 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 12753 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1)) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
6 ruc.5 . . . 4 𝐺 = seq0(𝐷, 𝐶)
76fveq1i 6151 . . 3 (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6151 . . . 4 (𝐺𝑁) = (seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)
98oveq1i 6615 . . 3 ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((seq0(𝐷, 𝐶)‘𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2685 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))))
11 nn0p1nn 11277 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1312nnne0d 11010 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≠ 0)
1413necomd 2851 . . . 4 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≠ (𝑁 + 1))
15 ruc.4 . . . . . . 7 𝐶 = ({⟨0, ⟨0, 1⟩⟩} ∪ 𝐹)
1615equncomi 3742 . . . . . 6 𝐶 = (𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})
1716fveq1i 6151 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1))
18 fvunsn 6400 . . . . 5 (0 ≠ (𝑁 + 1) → ((𝐹 ∪ {⟨0, ⟨0, 1⟩⟩})‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
1917, 18syl5eq 2672 . . . 4 (0 ≠ (𝑁 + 1) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2014, 19syl 17 . . 3 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2120oveq2d 6621 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐺𝑁)𝐷(𝐶‘(𝑁 + 1))) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
2210, 21eqtrd 2660 1 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = ((𝐺𝑁)𝐷(𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  csb 3519  cun 3558  ifcif 4063  {csn 4153  cop 4159   class class class wbr 4618   × cxp 5077  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  1st c1st 7114  2nd c2nd 7115  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019   / cdiv 10629  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cuz 11631  seqcseq 12738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-seq 12739
This theorem is referenced by:  ruclem8  14886  ruclem9  14887  ruclem12  14890
  Copyright terms: Public domain W3C validator