Theorem rusgrnumwwlkg 27749

Description: In a 𝐾-regular graph, the number of walks (as words) of a fixed length 𝑁 from a fixed vertex is 𝐾 to the power of 𝑁. Closed form of rusgrnumwwlk 27748. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Sep-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwwlkg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkg	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (𝐾↑𝑁))

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkg

Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpc 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
2	1	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
3		rusgrnumwwlkg.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})) = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))
5	3, 4	rusgrnumwwlklem 27743	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
6	2, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}))
7	3, 4	rusgrnumwwlk 27748	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑃(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (♯‘{𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}))𝑁) = (𝐾↑𝑁))
8	6, 7	eqtr3d 2858	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘{𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (𝐾↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150   ∈ cmpo 7152  Fincfn 8503  0cc0 10531  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423  ♯chash 13684  Vtxcvtx 26775   RegUSGraph crusgr 27332   WWalksN cwwlksn 27598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-vtx 26777  df-iedg 26778  df-edg 26827  df-uhgr 26837  df-ushgr 26838  df-upgr 26861  df-umgr 26862  df-uspgr 26929  df-usgr 26930  df-fusgr 27093  df-nbgr 27109  df-vtxdg 27242  df-rgr 27333  df-rusgr 27334  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603

This theorem is referenced by:  rusgrnumwlkg  27750  clwwlknclwwlkdifnum  27752