MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s1fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s1fv 13329
Description: Sole symbol of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)
Assertion
Ref Expression
s1fv (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)

Proof of Theorem s1fv
StepHypRef Expression
1 s1val 13317 . . 3 (𝐴𝐵 → ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩})
21fveq1d 6150 . 2 (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = ({⟨0, 𝐴⟩}‘0))
3 0nn0 11251 . . 3 0 ∈ ℕ0
4 fvsng 6401 . . 3 ((0 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
53, 4mpan 705 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨0, 𝐴⟩}‘0) = 𝐴)
62, 5eqtrd 2655 1 (𝐴𝐵 → (⟨“𝐴”⟩‘0) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {csn 4148  cop 4154  cfv 5847  0cc0 9880  0cn0 11236  ⟨“cs1 13233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-mulcl 9942  ax-i2m1 9948
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-n0 11237  df-s1 13241
This theorem is referenced by:  lsws1  13330  eqs1  13331  wrdl1s1  13333  ccats1val2  13342  ccat2s1p1  13343  ccat2s1p2  13344  cats1un  13413  revs1  13451  cats1fvn  13540  s2fv0  13568  efgsval2  18067  efgs1  18069  efgsp1  18071  efgsfo  18073  pgpfaclem1  18401  0wlkons1  26848  1wlkdlem4  26866  wlk2v2elem2  26882  signstf0  30422  signstfvn  30423  signsvtn0  30424  signstfvneq0  30426
  Copyright terms: Public domain W3C validator