Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s3iunsndisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s3iunsndisj 13928
 Description: The union of singletons consisting of length 3 strings which have distinct first and third symbols are disjunct. (Contributed by AV, 17-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
s3iunsndisj (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝐵,𝑎,𝑐   𝑋,𝑎   𝑌,𝑎   𝑍,𝑎

Proof of Theorem s3iunsndisj
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orc 399 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
21a1d 25 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
3 eliun 4676 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
4 velsn 4337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩)
5 eqeq1 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
65adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
7 s3cli 13846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V
8 elex 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐵𝑋𝐵 ∈ V)
9 elex 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑑𝑌𝑑 ∈ V)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑎𝑌𝑑𝑌) → 𝑑 ∈ V)
118, 10anim12ci 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
12 elex 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → 𝑒 ∈ V)
1312adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → 𝑒 ∈ V)
1411, 13anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
15 df-3an 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V) ↔ ((𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑒 ∈ V))
1614, 15sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V))
17 eqwrds3 13925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∈ Word V ∧ (𝑑 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V ∧ 𝑒 ∈ V)) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
187, 16, 17sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ ↔ ((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒))))
19 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑎 ∈ V
20 s3fv0 13856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ V → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎)
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑎
22 simp1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑)
2321, 22syl5eqr 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒) → 𝑎 = 𝑑)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((♯‘⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) = 3 ∧ ((⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘0) = 𝑑 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘1) = 𝐵 ∧ (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩‘2) = 𝑒)) → 𝑎 = 𝑑)
2518, 24syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2625adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
276, 26sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}))) ∧ 𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2827ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩ → 𝑎 = 𝑑))
2928con3d 148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ ∧ ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) ∧ (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})))) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3029exp32 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (¬ 𝑎 = 𝑑 → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3130com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3231imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ((𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3332expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3433com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))))
3534imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 = ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
364, 35syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)))
3736imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → (𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩))
3837imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
39 velsn 4337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ 𝑠 = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
4038, 39sylnibr 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) ∧ 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})) → ¬ 𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4140nrexdv 3139 . . . . . . . . . . . . 13 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
42 eliun 4676 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩} ↔ ∃𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑})𝑠 ∈ {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4341, 42sylnibr 318 . . . . . . . . . . . 12 ((((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩}) → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
4443ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) ∧ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})) → (𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4544rexlimdva 3169 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (∃𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎})𝑠 ∈ {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
463, 45syl5bi 232 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} → ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}))
4746ralrimiv 3103 . . . . . . . 8 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
48 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑑 = 𝑑)
49 eqidd 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝐵 = 𝐵)
50 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 = 𝑒𝑐 = 𝑒)
5148, 49, 50s3eqd 13829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑒 → ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩)
5251sneqd 4333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑒 → {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5352cbviunv 4711 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} = 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩}
5453eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5554notbii 309 . . . . . . . . 9 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5655ralbii 3118 . . . . . . . 8 (∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑒 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑒”⟩})
5747, 56sylibr 224 . . . . . . 7 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
58 disj 4160 . . . . . . 7 (( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅ ↔ ∀𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ¬ 𝑠 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
5957, 58sylibr 224 . . . . . 6 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)
6059olcd 407 . . . . 5 ((¬ 𝑎 = 𝑑 ∧ (𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌))) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6160ex 449 . . . 4 𝑎 = 𝑑 → ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅)))
622, 61pm2.61i 176 . . 3 ((𝐵𝑋 ∧ (𝑎𝑌𝑑𝑌)) → (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
6362ralrimivva 3109 . 2 (𝐵𝑋 → ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
64 sneq 4331 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → {𝑎} = {𝑑})
6564difeq2d 3871 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → (𝑍 ∖ {𝑎}) = (𝑍 ∖ {𝑑}))
66 id 22 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝑎 = 𝑑)
67 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝐵 = 𝐵)
68 eqidd 2761 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑑𝑐 = 𝑐)
6966, 67, 68s3eqd 13829 . . . . 5 (𝑎 = 𝑑 → ⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩ = ⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩)
7069sneqd 4333 . . . 4 (𝑎 = 𝑑 → {⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = {⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
7165, 70iuneq12d 4698 . . 3 (𝑎 = 𝑑 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} = 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩})
7271disjor 4786 . 2 (Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ↔ ∀𝑎𝑌𝑑𝑌 (𝑎 = 𝑑 ∨ ( 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩} ∩ 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑑}){⟨“𝑑𝐵𝑐”⟩}) = ∅))
7363, 72sylibr 224 1 (𝐵𝑋Disj 𝑎𝑌 𝑐 ∈ (𝑍 ∖ {𝑎}){⟨“𝑎𝐵𝑐”⟩})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  {csn 4321  ∪ ciun 4672  Disj wdisj 4772  ‘cfv 6049  0cc0 10148  1c1 10149  2c2 11282  3c3 11283  ♯chash 13331  Word cword 13497  ⟨“cs3 13807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-concat 13507  df-s1 13508  df-s2 13813  df-s3 13814 This theorem is referenced by:  fusgreghash2wspv  27510
 Copyright terms: Public domain W3C validator