Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sPthisPth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sPthisPth 40927
Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
sPthisPth (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem sPthisPth
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 spthsfval 40923 . . 3 (𝐺 ∈ V → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun 𝑝)})
21brfvopab 6576 . 2 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3 simpl 471 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
4 funres11 5866 . . . . . 6 (Fun 𝑃 → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
54adantl 480 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
6 1e0p1 11384 . . . . . . . . . . . 12 1 = (0 + 1)
76oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 (1..^(#‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(#‘𝐹))
87ineq2i 3772 . . . . . . . . . 10 ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹)))
9 0z 11221 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
10 prinfzo0 40183 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℤ → ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅
128, 11eqtri 2631 . . . . . . . . 9 ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ∅
1312imaeq2i 5370 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
14 ima0 5387 . . . . . . . 8 (𝑃 “ ∅) = ∅
1513, 14eqtri 2631 . . . . . . 7 (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅
16 imain 5874 . . . . . . 7 (Fun 𝑃 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
1715, 16syl5reqr 2658 . . . . . 6 (Fun 𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
1817adantl 480 . . . . 5 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
193, 5, 183jca 1234 . . . 4 ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
2019a1i 11 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
21 issPth 40925 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃)))
22 isPth 40924 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun (𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
2320, 21, 223imtr4d 281 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹(PathS‘𝐺)𝑃))
242, 23mpcom 37 1 (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cin 3538  c0 3873  {cpr 4126   class class class wbr 4577  ccnv 5027  cres 5030  cima 5031  Fun wfun 5784  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  cz 11210  ..^cfzo 12289  #chash 12934  TrailSctrls 40894  PathScpths 40914  SPathScspths 40915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-ifp 1006  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-hash 12935  df-word 13100  df-1wlks 40795  df-trls 40896  df-pths 40918  df-spths 40919
This theorem is referenced by:  sPthis1wlk  40929  spthson  40942  spthonprop  40946  isspthonpth-av  40950  spthonpthon  40952  usgr2trlspth  40962  usgr2pthspth  40963  wspthsnonn0vne  41119
  Copyright terms: Public domain W3C validator