MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadadd2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sadadd2lem 15796
Description: Lemma for sadadd2 15797. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sadcadd.k 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
sadadd2lem.1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
Assertion
Ref Expression
sadadd2lem (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐾(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadadd2lem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 4202 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (𝐴 sadd 𝐵)
2 sadval.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
3 sadval.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
4 sadval.c . . . . . . . . . . 11 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
52, 3, 4sadfval 15789 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))})
6 ssrab2 4053 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ ℕ0 ∣ hadd(𝑘𝐴, 𝑘𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑘))} ⊆ ℕ0
75, 6eqsstrdi 4018 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
81, 7sstrid 3975 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
9 fzofi 13330 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑁) ∈ Fin
109a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ Fin)
11 inss2 4203 . . . . . . . . 9 ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
12 ssfi 8726 . . . . . . . . 9 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
14 elfpw 8814 . . . . . . . 8 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
158, 13, 14sylanbrc 583 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
16 bitsf1o 15782 . . . . . . . . . 10 (bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)
17 f1ocnv 6620 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):ℕ01-1-onto→(𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0)
18 f1of 6608 . . . . . . . . . 10 ((bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)–1-1-onto→ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . . 9 (bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
20 sadcadd.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (bits ↾ ℕ0)
2120feq1i 6498 . . . . . . . . 9 (𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0(bits ↾ ℕ0):(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0)
2219, 21mpbir 232 . . . . . . . 8 𝐾:(𝒫 ℕ0 ∩ Fin)⟶ℕ0
2322ffvelrni 6842 . . . . . . 7 (((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2415, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11945 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
26 2nn0 11902 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
28 sadcp1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2927, 28nn0expcld 13595 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ0)
30 0nn0 11900 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
31 ifcl 4507 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3229, 30, 31sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
34 1nn0 11901 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
3628, 35nn0addcld 11947 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3727, 36nn0expcld 13595 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
38 ifcl 4507 . . . . . . . 8 (((2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
3937, 30, 38sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℕ0)
4039nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) ∈ ℂ)
4133, 40addcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) ∈ ℂ)
4225, 41addcld 10648 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) ∈ ℂ)
43 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐴
4443, 2sstrid 3975 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
45 inss2 4203 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
46 ssfi 8726 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
4710, 45, 46sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
48 elfpw 8814 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
4944, 47, 48sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
5022ffvelrni 6842 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
5251nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
53 inss1 4202 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ 𝐵
5453, 3sstrid 3975 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0)
55 inss2 4203 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)
56 ssfi 8726 . . . . . . . . . 10 (((0..^𝑁) ∈ Fin ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ (0..^𝑁)) → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
5710, 55, 56sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin)
58 elfpw 8814 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) ↔ ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ⊆ ℕ0 ∧ (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ Fin))
5954, 57, 58sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin))
6022ffvelrni 6842 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (0..^𝑁)) ∈ (𝒫 ℕ0 ∩ Fin) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6159, 60syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℕ0)
6261nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) ∈ ℂ)
6352, 62addcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) ∈ ℂ)
64 ifcl 4507 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6529, 30, 64sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
67 ifcl 4507 . . . . . . . 8 (((2↑𝑁) ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6829, 30, 67sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℕ0)
6968nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
7066, 69addcld 10648 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) ∈ ℂ)
7163, 70addcld 10648 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) ∈ ℂ)
7229nn0cnd 11945 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
7372adantr 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
74 0cnd 10622 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
7573, 74ifclda 4497 . . . 4 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0) ∈ ℂ)
76 sadadd2lem.1 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))))
772, 3, 4, 28sadval 15793 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
7877ifbid 4485 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) = if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0))
792, 3, 4, 28sadcp1 15792 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
8027nn0cnd 11945 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
8180, 28expp1d 13499 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = ((2↑𝑁) · 2))
8272, 80mulcomd 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2↑𝑁) · 2) = (2 · (2↑𝑁)))
8381, 82eqtrd 2853 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2 · (2↑𝑁)))
8479, 83ifbieq1d 4486 . . . . . . . 8 (𝜑 → if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0))
8578, 84oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)))
86 sadadd2lem2 15787 . . . . . . . 8 ((2↑𝑁) ∈ ℂ → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8772, 86syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (if(hadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2↑𝑁), 0) + if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), (2 · (2↑𝑁)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8885, 87eqtrd 2853 . . . . . 6 (𝜑 → (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
8976, 88oveq12d 7163 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9025, 41, 75add32d 10855 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9163, 70, 75addassd 10651 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + ((if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0))))
9289, 90, 913eqtr4d 2863 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)) = ((((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) + if(∅ ∈ (𝐶𝑁), (2↑𝑁), 0)))
9342, 71, 75, 92addcan2ad 10834 . . 3 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9425, 33, 40addassd 10651 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + (if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0))))
9552, 66, 62, 69add4d 10856 . . 3 (𝜑 → (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁)))) + (if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9693, 94, 953eqtr4d 2863 . 2 (𝜑 → (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
9720bitsinvp1 15786 . . . 4 (((𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
987, 28, 97syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)))
9998oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = (((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁 ∈ (𝐴 sadd 𝐵), (2↑𝑁), 0)) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)))
10020bitsinvp1 15786 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
1012, 28, 100syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)))
10220bitsinvp1 15786 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
1033, 28, 102syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0)))
104101, 103oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))) = (((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐴, (2↑𝑁), 0)) + ((𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^𝑁))) + if(𝑁𝐵, (2↑𝑁), 0))))
10596, 99, 1043eqtr4d 2863 1 (𝜑 → ((𝐾‘((𝐴 sadd 𝐵) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + if(∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)), (2↑(𝑁 + 1)), 0)) = ((𝐾‘(𝐴 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) + (𝐾‘(𝐵 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1528  haddwhad 1584  caddwcad 1598  wcel 2105  {crab 3139  cin 3932  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463  𝒫 cpw 4535  cmpt 5137  ccnv 5547  cres 5550  wf 6344  1-1-ontowf1o 6347  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  1oc1o 8084  2oc2o 8085  Fincfn 8497  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  cmin 10858  2c2 11680  0cn0 11885  ..^cfzo 13021  seqcseq 13357  cexp 13417  bitscbits 15756   sadd csad 15757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-xor 1496  df-tru 1531  df-fal 1541  df-had 1585  df-cad 1599  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-dvds 15596  df-bits 15759  df-sad 15788
This theorem is referenced by:  sadadd2  15797
  Copyright terms: Public domain W3C validator