Theorem sadcf 15348

Description: The carry sequence is a sequence of elements of 2_𝑜 encoding a "sequence of wffs". (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sadval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c	⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))

Assertion

Ref	Expression
sadcf	⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶2𝑜)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem sadcf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11470	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		iftrue 4224	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = ∅)
3		eqid 2748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
4		0ex 4930	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6432	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅)
6	1, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) = ∅
7	4	prid1 4429	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ {∅, 1𝑜}
8		df2o3 7730	. . . . . 6 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
9	7, 8	eleqtrri 2826	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2𝑜
10	6, 9	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2𝑜
11	10	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘0) ∈ 2𝑜)
12		df-ov 6804	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑦) = ((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩)
13		1on 7724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1𝑜 ∈ On
14	13	elexi 3341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1𝑜 ∈ V
15	14	prid2 4430	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1𝑜 ∈ {∅, 1𝑜}
16	15, 8	eleqtrri 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ 2𝑜
17	16, 9	keepel 4287	. . . . . . . 8 ⊢ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜
18	17	rgen2w 3051	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑐 ∈ 2𝑜 ∀𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜
19		eqid 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)) = (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))
20	19	fmpt2 7393	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑐 ∈ 2𝑜 ∀𝑚 ∈ ℕ0 if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜 ↔ (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)):(2𝑜 × ℕ0)⟶2𝑜)
21	18, 20	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)):(2𝑜 × ℕ0)⟶2𝑜
22	21, 9	f0cli 6521	. . . . 5 ⊢ ((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))‘⟨𝑥, 𝑦⟩) ∈ 2𝑜
23	12, 22	eqeltri 2823	. . . 4 ⊢ (𝑥(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑦) ∈ 2𝑜
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 2𝑜 ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑦) ∈ 2𝑜)
25		nn0uz 11886	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
26		0zd 11552	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
27		fvexd 6352	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘(0 + 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘𝑥) ∈ V)
28	11, 24, 25, 26, 27	seqf2 12985	. 2 ⊢ (𝜑 → seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2𝑜)
29		sadval.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
30	29	feq1i 6185	. 2 ⊢ (𝐶:ℕ0⟶2𝑜 ↔ seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))):ℕ0⟶2𝑜)
31	28, 30	sylibr 224	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶2𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1620  caddwcad 1682   ∈ wcel 2127  ∀wral 3038  Vcvv 3328   ⊆ wss 3703  ∅c0 4046  ifcif 4218  {cpr 4311  ⟨cop 4315   ↦ cmpt 4869   × cxp 5252  Oncon0 5872  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↦ cmpt2 6803  1_𝑜c1o 7710  2_𝑜c2o 7711  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   − cmin 10429  ℕ₀cn0 11455  ℤ_≥cuz 11850  seqcseq 12966

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-fz 12491  df-seq 12967

This theorem is referenced by:  sadcp1  15350