MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  saddisj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saddisj 15118
Description: The sum of disjoint sequences is the union of the sequences. (In this case, there are no carried bits.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
saddisj.1 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
Assertion
Ref Expression
saddisj (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem saddisj
Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saddisj.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
2 saddisj.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3 sadcl 15115 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ0𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
41, 2, 3syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
54sseld 3586 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
61, 2unssd 3772 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ ℕ0)
76sseld 3586 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
81adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
92adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
10 saddisj.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐵) = ∅)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐵) = ∅)
12 eqid 2621 . . . . 5 seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1))))
13 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
148, 9, 11, 12, 13saddisjlem 15117 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
1514ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴𝐵))))
165, 7, 15pm5.21ndd 369 . 2 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴𝐵)))
1716eqrdv 2619 1 (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  caddwcad 1542  wcel 1987  cun 3557  cin 3558  wss 3559  c0 3896  ifcif 4063  cmpt 4678  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506  0cc0 9887  1c1 9888  cmin 10217  0cn0 11243  seqcseq 12748   sadd csad 15073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9943  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-had 1530  df-cad 1543  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-nn 10972  df-n0 11244  df-z 11329  df-uz 11639  df-fz 12276  df-seq 12749  df-sad 15104
This theorem is referenced by:  sadid1  15121  bitsres  15126
  Copyright terms: Public domain W3C validator