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Theorem salgencntex 40879
Description: This counterexample shows that df-salgen 40851 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgencntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c 𝐶 = (𝑆𝑇)
salgencntex.z 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
Assertion
Ref Expression
salgencntex ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saluni 40862 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → 𝑍𝑍)
2 salgencntex.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
3 salgencntex.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝒫 𝐵
4 salgencntex.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0[,]1)
5 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
64, 5eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
7 pwsal 40853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
93, 8eqeltri 2726 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ SAlg
10 salgencntex.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑆𝑇)
11 inss2 3867 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑇
1210, 11eqsstri 3668 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝑇
139, 12pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇)
14 sseq2 3660 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑇 → (𝐶𝑠𝐶𝑇))
1514elrab 3396 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇))
1613, 15mpbir 221 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
17 intss1 4524 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇
192, 18eqsstri 3668 . . . . . . 7 𝑍𝑇
2019unissi 4493 . . . . . 6 𝑍 𝑇
213unieqi 4477 . . . . . . 7 𝑇 = 𝒫 𝐵
22 unipw 4948 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝐵
2321, 22eqtri 2673 . . . . . 6 𝑇 = 𝐵
2420, 23sseqtri 3670 . . . . 5 𝑍𝐵
25 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → (𝐶𝑠𝐶𝑡))
2625elrab 3396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2726biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2827simprd 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → 𝐶𝑡)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → 𝐶𝑡)
30 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33 unitssre 12357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝐵)
3534, 4syl6eleq 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]1))
3633, 35sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℝ)
3730rexrd 10127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℝ
3938rexri 10135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ*
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
41 iccgelb 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
4237, 40, 35, 41syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
4338a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44 iccleub 12267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
4537, 40, 35, 44syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 1)
46 1le2 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≤ 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ≤ 2)
4836, 43, 32, 45, 47letrd 10232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 2)
4930, 32, 36, 42, 48eliccd 40044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]2))
50 salgencntex.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (0[,]2)
5149, 50syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵𝑦𝐴)
52 snelpwi 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54 snfi 8079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑦} ∈ Fin
55 fict 8588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦} ≼ ω
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58 orc 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6053, 59jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62 difeq2 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
6362breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6461, 63orbi12d 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65 salgencntex.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
6664, 65elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
6760, 66sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68 snelpwi 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
6968, 3syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
7067, 69elind 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆𝑇))
7110eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆𝑇) = 𝐶
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → (𝑆𝑇) = 𝐶)
7370, 72eleqtrd 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
7473adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
7529, 74sseldd 3637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
7675ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77 snex 4938 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ V
7877elint2 4514 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
7976, 78sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠})
8079, 2syl6eleqr 2741 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81 snidg 4239 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦})
82 eleq2 2719 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑦} → (𝑦𝑤𝑦 ∈ {𝑦}))
8382rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ 𝑍𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8480, 81, 83syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
85 eluni2 4472 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑍 ↔ ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8684, 85sylibr 224 . . . . . . 7 (𝑦𝐵𝑦 𝑍)
8786rgen 2951 . . . . . 6 𝑦𝐵 𝑦 𝑍
88 dfss3 3625 . . . . . 6 (𝐵 𝑍 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑦 𝑍)
8987, 88mpbir 221 . . . . 5 𝐵 𝑍
9024, 89eqssi 3652 . . . 4 𝑍 = 𝐵
91 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]2) ∈ V
9250, 91eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
9493, 65salexct 40870 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
9594trud 1533 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ SAlg
96 inss1 3866 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑆
9710, 96eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑆
9895, 97pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆)
99 sseq2 3660 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐶𝑠𝐶𝑆))
10099elrab 3396 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆))
10198, 100mpbir 221 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
102 intss1 4524 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆)
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆
1042, 103eqsstri 3668 . . . . . 6 𝑍𝑆
105104sseli 3632 . . . . 5 (𝐵𝑍𝐵𝑆)
10650, 65, 4salexct2 40875 . . . . . 6 ¬ 𝐵𝑆
107106a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑍 → ¬ 𝐵𝑆)
108105, 107pm2.65i 185 . . . 4 ¬ 𝐵𝑍
10990, 108eqneltri 39560 . . 3 ¬ 𝑍𝑍
110109a1i 11 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → ¬ 𝑍𝑍)
1111, 110pm2.65i 185 1 ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  {csn 4210   cuni 4468   cint 4507   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ωcom 7107  cdom 7995  Fincfn 7997  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  *cxr 10111  cle 10113  2c2 11108  [,]cicc 12216  SAlgcsalg 40846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-salg 40847
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