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Theorem salgencntex 42503
Description: This counterexample shows that df-salgen 42475 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgencntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c 𝐶 = (𝑆𝑇)
salgencntex.z 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
Assertion
Ref Expression
salgencntex ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saluni 42486 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → 𝑍𝑍)
2 salgencntex.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
3 salgencntex.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝒫 𝐵
4 salgencntex.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0[,]1)
5 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
64, 5eqeltri 2906 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
7 pwsal 42477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
93, 8eqeltri 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ SAlg
10 salgencntex.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑆𝑇)
11 inss2 4203 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑇
1210, 11eqsstri 3998 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝑇
139, 12pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇)
14 sseq2 3990 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑇 → (𝐶𝑠𝐶𝑇))
1514elrab 3677 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇))
1613, 15mpbir 232 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
17 intss1 4882 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇
192, 18eqsstri 3998 . . . . . . 7 𝑍𝑇
2019unissi 4853 . . . . . 6 𝑍 𝑇
213unieqi 4839 . . . . . . 7 𝑇 = 𝒫 𝐵
22 unipw 5333 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝐵
2321, 22eqtri 2841 . . . . . 6 𝑇 = 𝐵
2420, 23sseqtri 4000 . . . . 5 𝑍𝐵
25 sseq2 3990 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → (𝐶𝑠𝐶𝑡))
2625elrab 3677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2726biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2827simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → 𝐶𝑡)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → 𝐶𝑡)
30 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33 unitssre 12873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝐵)
3534, 4eleqtrdi 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]1))
3633, 35sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℝ)
3730rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38 1xr 10688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40 iccgelb 12781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
4137, 39, 35, 40syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44 iccleub 12780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
4537, 39, 35, 44syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 1)
46 1le2 11834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≤ 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ≤ 2)
4836, 43, 32, 45, 47letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 2)
4930, 32, 36, 41, 48eliccd 41655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]2))
50 salgencntex.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (0[,]2)
5149, 50eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵𝑦𝐴)
52 snelpwi 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54 snfi 8582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑦} ∈ Fin
55 fict 9104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦} ≼ ω
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58 orc 861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6053, 59jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61 breq1 5060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62 difeq2 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
6362breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6461, 63orbi12d 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65 salgencntex.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
6664, 65elrab2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
6760, 66sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68 snelpwi 5327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
6968, 3eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
7067, 69elind 4168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆𝑇))
7110eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆𝑇) = 𝐶
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → (𝑆𝑇) = 𝐶)
7370, 72eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
7529, 74sseldd 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
7675ralrimiva 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77 snex 5322 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ V
7877elint2 4874 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
7976, 78sylibr 235 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠})
8079, 2eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81 snidg 4589 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦})
82 eleq2 2898 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑦} → (𝑦𝑤𝑦 ∈ {𝑦}))
8382rspcev 3620 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ 𝑍𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8480, 81, 83syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
85 eluni2 4834 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑍 ↔ ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8684, 85sylibr 235 . . . . . . 7 (𝑦𝐵𝑦 𝑍)
8786rgen 3145 . . . . . 6 𝑦𝐵 𝑦 𝑍
88 dfss3 3953 . . . . . 6 (𝐵 𝑍 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑦 𝑍)
8987, 88mpbir 232 . . . . 5 𝐵 𝑍
9024, 89eqssi 3980 . . . 4 𝑍 = 𝐵
91 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]2) ∈ V
9250, 91eqeltri 2906 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
9493, 65salexct 42494 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
9594mptru 1535 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ SAlg
96 inss1 4202 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑆
9710, 96eqsstri 3998 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑆
9895, 97pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆)
99 sseq2 3990 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐶𝑠𝐶𝑆))
10099elrab 3677 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆))
10198, 100mpbir 232 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
102 intss1 4882 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆)
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆
1042, 103eqsstri 3998 . . . . . 6 𝑍𝑆
105104sseli 3960 . . . . 5 (𝐵𝑍𝐵𝑆)
10650, 65, 4salexct2 42499 . . . . . 6 ¬ 𝐵𝑆
107106a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑍 → ¬ 𝐵𝑆)
108105, 107pm2.65i 195 . . . 4 ¬ 𝐵𝑍
10990, 108eqneltri 2903 . . 3 ¬ 𝑍𝑍
110109a1i 11 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → ¬ 𝑍𝑍)
1111, 110pm2.65i 195 1 ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wtru 1529  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  cdif 3930  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830   cint 4867   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  ωcom 7569  cdom 8495  Fincfn 8497  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526  *cxr 10662  cle 10664  2c2 11680  [,]cicc 12729  SAlgcsalg 42470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-ntr 21556  df-salg 42471
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