Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgensscntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgensscntex 41065
Description: This counterexample shows that the sigma-algebra generated by a set is not the smallest sigma-algebra containing the set, if we consider also sigma-algebras with a larger base set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgensscntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgensscntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgensscntex.x 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
salgensscntex.g 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
Assertion
Ref Expression
salgensscntex (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝑋(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem salgensscntex
StepHypRef Expression
1 salgensscntex.x . . 3 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
2 0re 10232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
3 2re 11282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
42, 3pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
52leidi 10754 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 0
6 1le2 11433 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
75, 6pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)
8 iccss 12434 . . . . . . . . . . 11 (((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 1 ≤ 2)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]2))
94, 7, 8mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (0[,]1) ⊆ (0[,]2)
10 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]1))
119, 10sseldi 3742 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦 ∈ (0[,]2))
12 salgensscntex.a . . . . . . . . 9 𝐴 = (0[,]2)
1311, 12syl6eleqr 2850 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) → 𝑦𝐴)
14 snelpwi 5061 . . . . . . . 8 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
16 snfi 8203 . . . . . . . . . 10 {𝑦} ∈ Fin
17 fict 8723 . . . . . . . . . 10 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {𝑦} ≼ ω
19 orc 399 . . . . . . . . 9 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2215, 21jca 555 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,]1) → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
23 breq1 4807 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
24 difeq2 3865 . . . . . . . . 9 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
2524breq1d 4814 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
2623, 25orbi12d 748 . . . . . . 7 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
27 salgensscntex.s . . . . . . 7 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
2826, 27elrab2 3507 . . . . . 6 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
2922, 28sylibr 224 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) → {𝑦} ∈ 𝑆)
3029rgen 3060 . . . 4 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆
31 eqid 2760 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
3231rnmptss 6555 . . . 4 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ 𝑆 → ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆)
3330, 32ax-mp 5 . . 3 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ⊆ 𝑆
341, 33eqsstri 3776 . 2 𝑋𝑆
35 ovex 6841 . . . . . 6 (0[,]2) ∈ V
3612, 35eqeltri 2835 . . . . 5 𝐴 ∈ V
3736a1i 11 . . . 4 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3837, 27salexct 41055 . . 3 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
3938trud 1642 . 2 𝑆 ∈ SAlg
40 ovex 6841 . . . . . . . . 9 (0[,]1) ∈ V
4140mptex 6650 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
4241rnex 7265 . . . . . . 7 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) ∈ V
431, 42eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑋 ∈ V
4443a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝑋 ∈ V)
45 salgensscntex.g . . . . 5 𝐺 = (SalGen‘𝑋)
461unieqi 4597 . . . . . 6 𝑋 = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
47 snex 5057 . . . . . . . . 9 {𝑦} ∈ V
4847rgenw 3062 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V
49 dfiun3g 5533 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} ∈ V → 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}))
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦})
5150eqcomi 2769 . . . . . 6 ran (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ {𝑦}) = 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦}
52 iunid 4727 . . . . . 6 𝑦 ∈ (0[,]1){𝑦} = (0[,]1)
5346, 51, 523eqtrri 2787 . . . . 5 (0[,]1) = 𝑋
5444, 45, 53unisalgen 41061 . . . 4 (⊤ → (0[,]1) ∈ 𝐺)
5554trud 1642 . . 3 (0[,]1) ∈ 𝐺
56 eqid 2760 . . . 4 (0[,]1) = (0[,]1)
5712, 27, 56salexct2 41060 . . 3 ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆
58 nelss 3805 . . 3 (((0[,]1) ∈ 𝐺 ∧ ¬ (0[,]1) ∈ 𝑆) → ¬ 𝐺𝑆)
5955, 57, 58mp2an 710 . 2 ¬ 𝐺𝑆
6034, 39, 593pm3.2i 1424 1 (𝑋𝑆𝑆 ∈ SAlg ∧ ¬ 𝐺𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cdif 3712  wss 3715  𝒫 cpw 4302  {csn 4321   cuni 4588   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cdom 8119  Fincfn 8121  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  cle 10267  2c2 11262  [,]cicc 12371  SAlgcsalg 41031  SalGencsalgen 41035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-ntr 21026  df-salg 41032  df-salgen 41036
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator