Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  saliincl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem saliincl 39882
Description: SAlg sigma-algebra is closed under countable indexed intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
saliincl.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
saliincl.kct (𝜑𝐾 ≼ ω)
saliincl.kn0 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
saliincl.e ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
Assertion
Ref Expression
saliincl (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐾   𝑆,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑘)

Proof of Theorem saliincl
StepHypRef Expression
1 saliincl.e . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸𝑆)
2 elssuni 4440 . . . . . . . 8 (𝐸𝑆𝐸 𝑆)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 𝑆)
4 df-ss 3574 . . . . . . 7 (𝐸 𝑆 ↔ (𝐸 𝑆) = 𝐸)
53, 4sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = 𝐸)
65eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = (𝐸 𝑆))
7 incom 3789 . . . . . 6 (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸)
87a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → (𝐸 𝑆) = ( 𝑆𝐸))
9 dfin4 3849 . . . . . 6 ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸))
109a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
116, 8, 103eqtrd 2659 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝐸 = ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
1211iineq2dv 4516 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)))
13 saliincl.kn0 . . . 4 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
14 iindif2 4562 . . . 4 (𝐾 ≠ ∅ → 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1513, 14syl 17 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆 ∖ ( 𝑆𝐸)) = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
1612, 15eqtrd 2655 . 2 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸 = ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)))
17 saliincl.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
18 saliincl.kct . . . 4 (𝜑𝐾 ≼ ω)
1917adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
20 saldifcl 39876 . . . . 5 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐸𝑆) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2119, 1, 20syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐾) → ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
2217, 18, 21saliuncl 39879 . . 3 (𝜑 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆)
23 saldifcl 39876 . . 3 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2417, 22, 23syl2anc 692 . 2 (𝜑 → ( 𝑆 𝑘𝐾 ( 𝑆𝐸)) ∈ 𝑆)
2516, 24eqeltrd 2698 1 (𝜑 𝑘𝐾 𝐸𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3557  cin 3559  wss 3560  c0 3897   cuni 4409   ciun 4492   ciin 4493   class class class wbr 4623  ωcom 7027  cdom 7913  SAlgcsalg 39865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-card 8725  df-acn 8728  df-salg 39866
This theorem is referenced by:  iocborel  39911  hoimbllem  40181  iccvonmbllem  40229  salpreimagtge  40271  salpreimaltle  40272  smflimlem1  40316  smfsuplem1  40354
  Copyright terms: Public domain W3C validator